Zeige mit vollständiger Induktion (L. Algebra)

Question

Gegeben seien eine positive natürliche Zahl n und paarweise disjunkte endliche Mengen X1, . . . , Xn. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die Menge X1∪˙ . . . ∪˙ Xn endlich ist mit |X1∪´ . . . ∪´ Xn| = |X1| + . . . + |Xn|. Verwenden Sie für den Induktionsschritt :

$$\left| X\sqcup Z \right| +\left| X\sqcap Z \right| =|X|+|Z|$$


ich kenne die vollst- Induktion nur aus der Analysis 
wie gehe ich jetzt vor ???
wie verwende ich den Induktionsschritt ?

Answer 1

du gehst vor wie immer. Zuerst IA und dann den IS, wobei du die IV und den Hinweis verwendest. Wie du siehst ist Induktion nicht nur ein Hilfsmittel in der Analysis.

Zum IS:

Du hast also n+1 paarweise disjunkte Mengen. Da \( (X_1 \dot{\cup} \dots \dot{\cup} X_n) \cap X_{n+1} = \emptyset \) folgt mit deinem Hinweis, dass

$$ | (X_1 \cup \dots \cup X_n) \cup X_{n+1}| = |X_1 \dot{\cup} \dots \dot{\cup} X_n| + |X_{n+1}|$$

Setze die IV richtig ein und du bist fertig.

Gruß