Fläche von Dreiecken berechnen (Reihen, Folgen)

Question

Aus den drei Höhen eines gleichseitigen Dreiecks wird ein neues Dreieck gebildet. Aus den Höhen dieses zweiten wird wiederum ein Dreieck gebildet usw. Bestimme die Summe aller so entstandenen Dreiecksflächen!

Comments

HIer kannst du die gleichen Formeln für gleichseitige Dreiecke brauchen, wie bei b) in deiner andern Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/291906/folgen-gleichseitiges-dreieck-einbeschriebenen-dreiecken 

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck

Der Faktor q ergibt sich als Quadrat aus dem Verhältnis von Höhe / Seitenlänge.

Answer 1

Im Gleichseitigen Dreieck gilt für die Höhe

h^2 = a^2 - (a/2)^2
h = √3/2·a

Also für die Fläche

A = 1/2 * a * h = √3/4·a^2

Bastelt man jetzt aus den Höhen des Dreiecks ein neues Dreieck verändern sich die Seiten mit dem Faktor √3/2. Die Fläche verändert sich demnach mit dem Faktor (√3/2)^2 = 3/4

Daher gilt für die Flächen aller so entstandenen Dreiecke

A = ∑ (n = 0 bis ∞) ((3/4)^n·√3/4·a^2) = √3·a^2