Hi,
ohne Beschränkung der Allgemeinheit bedeutet in diesem Fall, dass wir einfach annehmen können, dass n>m gilt. Das dürfen wir tun, da
$$|a_n-a_m|=|-(a_n-a_m)|=|a_m-a_n|$$
gilt. Wenn also m>n sein sollte, ist das also kein Problem: Der Beweis würde genauso funktionieren wie mit n>m. Bei 2:28 sagt er ja, dass wir aufgrund der Voraussetzung, dass n>m gilt, die Betragsstriche weglasseen dürfen. Ohne dieses "o.B.d.A n>m" müsste er eine Fallunterscheidung für die Fälle n>m und m>n machen. Aber wozu sollte man sich die Mühe machen, wenn man sich diese Fallunterscheidung durch ein kurzes "o.B.d.A. n>m" sparen kann.
Nun zu den Abschätzungen:
Betrachte als Beispiel folgenden Bruch:
$$\frac{10-6}{2+2}=\frac{4}{4}=1$$
Wenn du nun die "-6" weglässt, wird der Zähler größer und somit auch der gesamte Bruch.
$$\frac{10}{2+2}=\frac{10}{4}=2,5$$
Lassen wir nun eine "+2" im Zähler weg, so wird der Nenner kleiner und dadurch der gesamte Bruch größer.
$$\frac{10}{2}=5$$
Und genauso ist es bei seiner Abschätzung auch: Er macht den Zähler größer und den Nenner kleiner, wodurch der Bruch größer wird.
In der nächten Abschätzung lässt er wieder eine "+2" im Nenner weg, wodurch der Nenner kleiner und der gesamte Bruch also größer wird.
Satz von Eudoxods und die letzte Abschätzung:
Den Satz von Satz von Eudoxods kenne ich leider nicht. Aber ich kann dir erklären wie man ganz einfach ohne diesen Satz zu kennen auf das Ergebnis kommt. (Vielleicht gibt es ja Parallelen zu dem was ich tun werde und diesem Satz.)
Du weißt, dass m>n_0 gilt. Oben habe ich ja gesagt, dass, wenn der Nenner kleiner, der Bruch größer wird. So gilt also:
$$\frac{3}{2m^2}<\frac{3}{2n_0^2}<\frac{3}{2n_0}$$
Nun willst du, dass
$$\frac{3}{2n_0}<\epsilon$$
gilt.
Es gilt:
$$\frac{3}{2n_0}<\epsilon \Leftrightarrow \frac{3}{2}<\epsilon \cdot n_0 \Leftrightarrow \frac{3}{2 \epsilon}<n_0$$
Nun weißt du, dass du dein
$$n_0>\frac{3}{2 \epsilon}$$
wählen musst, damit
$$\frac{3}{2n_0}<\epsilon$$
gilt.
Insgesamt gilt mit
$$n_0>\frac{3}{2 \epsilon}$$
also:
$$\vert a_n - a_m \vert \le...\le \frac{3}{2m^2}<\frac{3}{2n_0^2}<\frac{3}{2n_0}<\frac{3}{2 \cdot \frac{3}{2 \epsilon}}=\frac{3}{\frac{3}{\epsilon}}=\epsilon$$
Fragen?:)
Liebe Grüße, Bruce
