Vektoren. Parallelogramm. Untervektorraum

Question

Die Vektoren x1 und x2 spannen ein Parallelogramm auf.

i) welche Dimension hat der Vektorraum V mit dem Erzeugendensystem

E= ( x1+2x₂, -x₂ - 1/2x₁)?

ii) Geben sie die Basis für V an.

iii) Sind x₁ und x₂ Vektoren von V?

Answer 1

Der erste Vektor mal -o,5 gibt den zweiten.

Also sind sie lin. abh.

Da aber x1 und x2 lin. unabh. sind (spannen ein Par. auf)

ist x1+2x₂ nicht der 0-Vektor und bildet somit

eine (einelementige) Basis von V. Also dim V = 1 .

Da sowohl a*( x1+2x₂ )=   x1    als auch

a*( x1+2x₂ )=   x2  nicht lösbar ist,

(Das musst du noch nachrechnen.)

sind weder x1 noch x2 aus V.