Zeige ob die Funktionen differenzierbar sind oder nicht

Question

f(x)=|x-1|³                   x0=1

g(x)=√(|x-1|+1)           x0=1

Man muss schauen ob die funktion differenzierbar sind.

habe hier etwas versucht aber ich komme nicht weiter für f(x).

(x-1)³ für x ≤ 1

f(x)          (-x+1)³ für x-1 < x < 1

(x-1)³ für x≥ -1

(-x+1)³ ist links                           (x-1)³ ist rechts

f((-x+h)³+1³)-(-x+1)³                 f((x+h)³-1³)-(-x-1)³ 

----------------------------------             ------------------------------------

-h                                                  h

sollte man das jetzt lösen und sehen das es nicht 1 rauskommt?

Comments

Wie kommst du zu 3 Fällen?

Betrachte mal:

~plot~abs(x-1)^3~plot~ 

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@Lu

ist den Kommentar eventuell verrutscht ?
Bezieht sich dein Kommentar auf meine Antwort ?

Georg

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Nein:

Das hier:

(x-1)³ für x ≤ 1 

f(x)          (-x+1)³ für x-1 < x < 1

(x-1)³ für x≥ -1

hinkt irgendwie.

Answer 1

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\frac{\vert h\vert^3-0^3}h=\frac{h^2\cdot\vert h\vert}h=h\cdot\vert h\vert.$$Der Grenzwert für \(h\to0\) existiert, damit ist \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) differenzierbar.

Comments

und was soll das jetzt heißen?)

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Steht bereits oben. Das heißt, dass \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) differenzierbar ist

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@Gast
Ich glaube du hast den Nachweis für x0 = 0 geführt.

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Mathematik ist keine Frage des Glaubens.

Answer 2

Dein Nachweisversuch für die erste Aufgabe ist schon ganz gut.
Jetzt würde natürlich eine elende Rechnerei mit hoch 3 sich anschließen

Kann man nicht einfach die 1.Ableitung bestimmen und dann die Grenzwerte
berechnen

lim x −> 1(-) =  -0
x = 0
lim x −> 1(+) =  +0

Sieht nach Differenzierbarkeit aus.

Comments

Du kannst die stückweise definierten Teile separat ableiten. Ausser an der Flickstelle sind sie sowieso differenzierbar.

Dann noch bei beiden Ableitungen x= 1 einsetzen.

Wenn das Gleiche rauskommt, ist f(x) = |x-1|^3 auf ganz R differenzierbar.

Falls man Ableiten noch nicht gelernt hat:

Differenenzenquotienten ausrechnen.

(| x + h - 1| ^3 - | x-1 |^3 )/ h

mit h kürzen und dann feststellen, dass x= 1 keine Probleme bereitet, weil eindeutig 0 rauskommt.

Alternativ

Substitution u = x-1. Dann wird das mit dem h etwas einfacher.