Berechne die Lösungsmenge: 2*3^{2x+2} - 3*2^2x = 3*2^{2x+3} + 2*3^{2x+1}

Question

Hier hab ich noch eine die ich nicht schaffe.

Es ist wieder Lösungsmenge gesucht.

wir haben immer nur einfache Beispiele gemacht.

 

2.3^2x+2 - 3.2^2x = 3.2^2x+3 + 2.3^2x+1

Comments

Schau vielleicht schon mal die folgende Lösung einer ähnlichen Gleichung an:

https://www.mathelounge.de/27390/exponentialgleichungen-mit-bzw-ohne-logarithmen-losen

Einzelne Schritte lassen sich da bestimmt übertragen…

Answer 1

Hi, bringe alles mit 3 und alles mit 2 auf je eine Seite:

2.3^2x+2 - 3.2^2x = 3.2^2x+3 + 2.3^2x+1

2*3^{2x+2}-2*3^{2x+1}=3*2^{2x+3}+3*2^{2x}  |:3 und :2 (minimiert bei jedem Summanden die Potenz um 1)

 

3^{2x+1}-3^{2x}=2^{2x+2}+2^{2x-1}

3*9^x-9^x=4*4^x+1/2*4^x

2*9^x=4,5*4^x    |:2 |:4^x

9^x/4^x=2,25

(9/4)^x=2,25

(2,25)^x=2,25

 

Folglich x=1.

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Danke, danke

Wäre schön, wenn wir in der Schule auch so eine einfache Erklärung bekommen würden.

Gibst du Nachhilfe auch ?????

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Gerne :).


Ja, ab und an gebe ich auch Nachhilfe ;).

Answer 2

2.3^2x+2 - 3.2^2x = 3.2^2x+3 + 2.3^2x+1

Das Problem ist ja, dass man gemäss Potenzgesetzen Potenzen nur addieren und subtrahieren kann, wenn sie die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben. 

Deshalb erst mal alles mit Basis 3 links und Basis 2 rechts.

2*3^{2x+2} - 2*3^{2x+1} = 3*2^{2x+3} + 3*2^2x

Weiter schrittweise mit Potenzgesetzen

2*3^2 *3^2x - 2*3^1 * 3^2x = 3*2^3 * 2^2x + 3*2^2x

18*3^2x - 6*3^2x = 24*2^2x + 3*2^2x

12*3^2x = 27*2^2x        |:3

4*3^2x = 9*2^2x           

       |x auf eine Seite, Zahlen auf die andere

       |:2^2x ; .4

3^2x / 2^2x = 9/4

(3/2)^{2x} = 9/4 = (3/2)^2

Vergleich: Basen gleich. Exponenten müssen gleich sein.

2x = 2

x=1