Punktweise Konvergent

Question

Seien α ⊂ (0,1) und f_n:[0,1]→ℝ, x →xⁿ für n ∈ ℕ.

Zeigen Sie das die (f_n)_n∈ℕ   punktweise konvergiert und bestimmen sie den Grenzwert. Zeigen sie das fn nicht gleichmäßig konvergiert.

Hab leider noch keinen Ansatz und würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Für k aus [0;1] ist  lim für n gegen unendlich von f_n(k) = 0 falls k<1 und  1 für k=1 .

Wäre die Konvergenz gleichmäßig, müsste die Grenzfunktion stetig auf [o;1] sein,

was sie offenbar nicht ist.