Matrix invertieren mit Gauß-Verfahren

Question

Also ich habe die Folgendematrix und muss nun dies in das Inverse umwandeln mit hilfe vom Gauß verfahren. Leider komme ich immer auf ein falsches Endresultat. Kann mir dat jemand helfen?

1     a   a^2
a     1   a
a^2   a  1

a Element R

Meine Ideen:
Nun muss ich wissen für welche a die Matrix invertierbar ist
ich weiß dass a weder 1 noch -1 werden darf. Ich weiss auch wie die Inverse zum Teil aussehen muss und zwar:

a b c
d e d
c b a

Comments

Du ergänzt die Matrix um die Einheitsmatrix. Du subtrahierst die a-fache erste Zeile von der zweiten, die a^2-fache erste Zeile von der dritten usw. Das wäre nach Aufgabenstellung der Weg.

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habe das ja schon versucht jedoch wenn ich das endresultat kontrolliere, dann habe ich bis jetzt immer festgestellt dass nein resultat falsch ist

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Das kann ja nun unterschiedliche Ursachen haben, etwa
- die Kontrolllösung hat eine abweichende Darstellung oder
- du hast dich bei der Probe verrechnet oder
- du hast dich beim Invertieren verrechnet.

Was also hast du genau gemacht?

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Gibt es dann bestimmte Sachen die ich nicht machen darf?
Also ich versuche es jetzt gerade noch einmal. 
Dürfte ich z.b eine zeile durch (1-a) teilen? resp durch (1-x^2)

So habe ich rausgefunden dass a weder 1 noch -1 sein kann

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Das darfst du machen, wenn du entsprechend \(a\ne 1\) und \(a\ne -1\) für die weitere Rechnung voraussetzt und die ausgeschlossenen Fälle ggf. später gesondert betrachtest.

Answer 1

[1, a, a^2, 1, 0, 0]
[a, 1, a, 0, 1, 0]
[a^2, a, 1, 0, 0, 1]

II - a * I ; III - a^2 * I

[1, a, a^2, 1, 0, 0]
[0, 1 - a^2, a - a^3, -a, 1, 0]
[0, a - a^3, 1 - a^4, - a^2, 0, 1]

III - a * II

[1, a, a^2, 1, 0, 0]
[0, 1 - a^2, a - a^3, -a, 1, 0]
[0, 0, 1 - a^2, 0, -a, 1]

II - a * III ; (1 - a^2) * I - a^2 * III

[1 - a^2, a·(1 - a^2), 0, 1 - a^2, a^3, - a^2]
[0, 1 - a^2, 0, -a, a^2 + 1, -a]
[0, 0, 1 - a^2, 0, -a, 1]

I - a * II

[1 - a^2, 0, 0, 1, -a, 0]
[0, 1 - a^2, 0, -a, a^2 + 1, -a]
[0, 0, 1 - a^2, 0, -a, 1]

Jetzt noch durch 1 - a^2 teilen

[1, 0, 0, 1/(1 - a^2), a/(a^2 - 1), 0]
[0, 1, 0, a/(a^2 - 1), (a^2 + 1)/(1 - a^2), a/(a^2 - 1)]
[0, 0, 1, 0, a/(a^2 - 1), 1/(1 - a^2)]

Da steht dann jetzt die Inverse.

Comments

danke für die Lösung. Habe dieses mal nur durch ganze Zeilen subtraiert. Vorhin habe ich eine Zeile mit -a und ähnlischem subtraiert. Darf ich das denn überhaupt?

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du darfst nicht einfach irgendwo ein a subtrahieren wenn es dir gefällt. Hinter dem ganzen stehen ja Äquivalenzumformungen.

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d.h also dass ich von einer Zeile nur eine andere Zeile subtraieren darf? Und sonst darf ich nix von einer Zeile subtraieren?

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ich hätte z.B ganz am Anfang von der 2ten Zeile ein a subtraiert. Dann hätte ich in der 2ten Zeile folgendes stehen: 
0 1-a 0, -a 1 0

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Mache dir klar das es sich bei der Matrix um eine erweiterte Koeffizientenmatrix handelt.

D.h. eine Zeile wie

[1, a, a², 1, 0, 0]

steht für

1·x + a·y + a^2·z = 1 | 0 | 0

Damit darfst du in der Zeile nicht einfach irgendwo etwas abziehen. Weil da ja eigentlich noch die Unbekannten x y und z drinstehen, die du so in der Matrix nur nicht sehen kannst.