Stetigkeit aus Lipschitz stetigkeit

Question

Ich habe hier leider keinen Ansatz und hoffe auf eine hilfreiche Antwort :)

Answer 1

zu a) Sei f Lipschitzstetig auf D und sei y aus D dann ist zu zeigen:

f ist stetig in y.    Da zu ist zu zeigen: zu jedem eps > 0 gibt es ein delta > 0 mit

| x - y| < delta ⇒ | f(x) - f ( y) | < eps.

Sei also eps>0.

wegen der L-stetigkeit gibt es ein L≥0 mit

| f(x) - f ( y) | ≤  L *  | x - y|    falls L=0 ist nicht zu zeigen, denn dann ist  | f(x) - f ( y) | ≤ 0 < eps.

ansonsten wähle delta=eps/L dann gilt   falls | x - y| < delta

| f(x) - f ( y) | ≤  L *  | x - y|  < L*delta = eps.     q.e.d.

b) für f(x) = √x  gilt   | f(x) - f(0) | = |√x  - √0 | = √x 

und | x - 0 | = x , aber es gibt kein L≥0  mit    √x ≤ L * x   für alle x

denn dann wäre      √x   /  x ≤ L

x / x^2 ≤ L^2

1/L^2 ≤ x für alle x.

Aber zwischen 0 und 1/L^2 gibt es immer noch irgendwelche x mit x < 1/L^2 .

Widerspruch!

Comments

vielen Dank. Ich habe jetzt alles verstanden bis auf das "wähle delta=eps/L

Wie schreibe ich auf woher man das hat/sieht ?

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Das ist bei diesen eps - delta Beweisen immer so, dass man

sozusagen erst mal rechnet wie das zu wählen ist, damit es passt.

hier wäre das so :

| f(x) - f ( y) | ≤  L *  | x - y|  < L*delta    und daraus hätte man gern:   < eps.

also sieht man hier, dass man mit delta =  eps / L hinkommt.

Das braucht man aber gar nicht zu verraten, wie man darauf gekommen

ist; denn es heißt ja nur:  " Es gibt ein ....".

Also gibt man eines an, mit dem es klappt, und : Bingo!

Zum "Machen" eines solchen Beweises, geht man aber umgekehrt heran

( Ich jedenfalls) .