Folgenkonvergenz Definition

Question

Hab eine Frage zu Konvergenz

Um die Konvergenz zu bestimmen gibt es eine bestimmte Definition jetzt hab ich zwei Definition entdeckt

Die erste ist mit epsilon und die andere ist 1/k was ist der Unterschied ??

Comments

Am besten schreibst du die beiden Definitionen mal sauber hin, dann kann man das besser beurteilen.

Bist du sicher, dass sich beide Definitionen auf Folgen beziehen?

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1. für alle epsilon größer null existiert ein n0 aus N, für alle n>= n0 |a_n-a| =< epsilon

2. für alle k aus N existiert ein n0 aus N , für alle n>=n0 |a_n-a| =< 1/k

Answer 1

1. für alle epsilon größer null existiert ein n0 aus N, für alle n>= n0 |a_n-a| =< epsilon 

Für jedes € grösser 0 (und sagen wir mal kleiner als 1; zu grosse € sind nicht interessant, um einen Grenzwert festzumachen) gibt es ein m und ein j Element N

mit

1/m < € < 1/j

und umgekehrt

Für jedes k aus N gibt es E und F grösser 0 mit

E < 1/k < F

Mit diesen beiden Tatsachen kannst zu zeigen, dass beide Definitionen äquivalent sind.

2. für alle k aus N existiert ein n0 aus N , für alle n>=n0 |a_n-a| =< 1/k

Comments

Sorry hab den Unterschied nicht ganz verstanden :/ ab dem Punkt m und j ein Element aus n

Was ist denn E und F ??

Wäre nett wenn du mir das genauer erklären könntest

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E F stehen für verschiedene denkbare epsilon.

m und j für verschiedene denkbare k.

Aus dem oben Gesagten folgt, wie erwähnt, dass die beiden Definitionen äquivalent sind.

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Ahso Jetzt hab ich es verstanden aber theoretisch ist das egal welche Definition man nimmt oder??

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Ja. Weil die beiden Definitionen äquivalent sind. Du solltest aber die Definition in eurem Skript verwenden, wenn du Beweise schreiben musst.