Wie berechnet man Konvergenz bei Reihen und Folgen?

Question

heute habe ich mal eine etwas allgemeinere Frage, und zwar:
Wie berechnet man eigentlich Konvergenz? Also ich würde halt gerne irgendwie eine Schritt für Schritt Zusammenfassung haben, wenn das denn möglich ist? :/
Bis jetzt bin ich Fest von dem Leitsatz von Bolzano Weierstraß Ausgegangen, dass Beschränktheit, und Monotonie auch gleich Konvergenz ist, aber nur weil eine Reihe nicht monoton ist, heißt es ja nicht, dass sie auch gleich Divergent ist. . .

Also? Wie berechnet man Konvergenz? Und Beschränktheit ist bei mir leider auch noch ein großes Problem. Ja klar, eine Schranke schätzen und dann über Induktion, aber Könnte man mir das bitte auch noch mal erklären?
Und warum kann eine Reihe zwar konvergieren, aber ihr Cauchy-Produkt divergieren? 

Wäre euch sehr Dankbar Leute! ^^

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