Asymptote berechnen, Funktion f(x) = √(5+2x+x^2)

Question

Wir haben in der Vorlesung vertikale, horizontale und schiefe Asymptote eingeführt. Die Beispiele und Erklärungen waren mal wieder wenig hilfreich.

Beim googlen bin ich auch nur auf Anleitungen und Beispiele für gebrochenrationale Funktionen gestoßen, die ich in meinen Aufgaben natürlich nicht habe.

Ich habe z.B. folgendes: \( f(x) = \sqrt {5+2x+x^2} \)

Kann mir da einer helfen, wie ich bei solchen und ähnlichen Funktionen, also alles was KEINE gebrochenrationale Funktion ist, die Asymptoten berechnen soll ?

Comments

Hier mal ein kleiner tipp.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptote+sqrt%285%2B2x%2Bx%5E2%29

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Danke, aber das habe ich auch schon gesehen bzw. gemacht. Allerdings ist das nur die Lösung und ich brauche ja auch irgendwie einen Rechenweg und der steht da leider nicht.

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Dadurch kann man aber der Lösung näher kommen. Ich würde zum Beispiel anhand der Lösung quadratische Ergänzung versuchen.

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Hmm ok. Wie siehts denn aus mit \( x \ exp \ (\frac{1}{{x}^{2}}) \) und \( \frac{1}{x} + \sqrt {1 + {x}^{2}} \).

Auch mit quadratischer Ergänzung oder nochmal anderen ?

Answer 1

Hi, mit
$$  \begin{aligned} f(x)&= \sqrt{5+2x+x^2} \\     &= \sqrt{4+1+2x+x^2} \\     &= \sqrt{4+\left(1+x\right)^2} \\     &> \sqrt{\left(1+x\right)^2} \\     &= \left|1+x\right| \end{aligned} $$werden die schrägen Asymptoten auf beiden Seiten beschrieben.