Zeige pu: V --> U, v = u+w --> u

Question

Ich bräuchte bitte Feedback bei folgender Aufgabe:

Sei V = U∔W. Zeige, dass die Abbildung p_U : V → U, v = u+w ↦ u linear ist.

Ich habe folgendes gemacht, ist das richtig?

Additivität:

zz. Λv,v'∈_V  f(v+v') = f(v)+f(v')

f(v+v')= f(u+w+u'+w')

= f((u+u')+(w+w'))

= u+u'

= f(v)+f(v')

Multiplikativität:

zz. Λ_λ∈V f(λv) = λf(v)

f(λv) = f(λu + λw)

= λu

= λf(v)

--> Abbildung ist linear.

Kann mir da irgendwer helfen? Warum brauch ich dann die direkte Summe in der Angabe?

Glg

Answer 1

mittels der direkten Summe hast du immer eine eindeutige Zerlegung v = u+w, d.h. \(\forall v \in V: \exists! u \in U, w \in W: v = u+w\).  Erst dadurch hast du überhaupt eine Abbildung gegeben, eine sogenannte Projektion.

An deinem Beweis ist sonst nichts auszusetzen.

Gruß