Wie beweise ich, dass natürliche Zahlen der Relation a ≤ b, wenn a | b eine halbgeordnet Menge sind?

Question

Man zeige (!Beweis), dass die naturlichen Zahlen mit
der Relation a ≤ b wenn alb (a teilt b) eine halbgeordnet Menge sind. Aulisten
der Axiome und deren Verizierung klar angeben.

Answer 1

Eine Menge M heißt teilweise geordnet, oder halbgeordnet wenn sie mit einer Relation ≤ versehen ist, die den folgenden Eigenschaften genügt: 

 1.  x ≤ x für alle x ∈ M (Reflexivität) 

 2. Für alle x,y∈ M gilt: Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y  (Antisymmetrie)  

 3. Für alle x,y,z∈M gilt: Aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z (Transitivität)  

Es gilt folgendes: 
 

 1. a | a  (a teilt a) 

 2. Wenn a | b und b | a dann gilt a = b , wobei a,b ∈ ℕ 

 3. Wenn a | b und b | c dann haben wir dass b = ma und c = nb. 

     Wir haben also dass c = n (ma) = (mn) a. 

     Davon folgt es dass a | c.