Warum ist der log(x) zur Basis a die Umkehrfunktion von a^x

Question

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich übe gerade für eine Analysis-Klausur und verstehe nicht wie ich obiges Beweise. Die Rechenregeln für den Logarithmus sind mittlerweile alle klar und habe ich auch schon bewiesen, aber warum gilt überhaupt dass log_x(x) = Umkehrfunktion von a^x  ?

Liebe Grüße

Answer 1

Das ist einfach die Definition des Logarithmus.

Comments

Ja klar, doch leider fliegen solche Definitionen ja nicht einfach so vom Himmel, die müssen ja auch bewiesen werden :)

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Definitionen kann man nicht beweisen. Da hat mal jemand gesagt "Ich nenne die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion jetzt Logarithmus"; und dann ist das eben so. Da gibt es nichts zu beweisen.

Oder hast du jemals irgendeine Definition bewiesen?

Answer 2

y=a^x

log_a(y) = log_a(a^x)= x*log_a(a)=x*1=x

x und y vertauschen:

y=log_a(x)

Comments

Du kannst nicht die Definition mithilfe der Rechenregeln beweisen. Das funktioniert eigentlich andersrum.