Ableitung einer Wurzelfunktion: f(x)= ( 1/4)x*√(20-x)

Question

Ich komme leider nicht weiter:(

f(x) 1/4)x*√20-x

Bei allen Ableitungsrechnern wird mir die Ableitung nur als Wurzel angezeigt und ich verstehe den Lösungsweg nicht...kann mir die Funktion jemand ableiten ohne Wurzel, so wie ich sie unten umgeschrieben habe?

Danke:) Wenn ich sie umgeschrieben ableite, dann bekomme ich sie leider nicht zusammengefasst, sodass ich Nullstellen bestimmen kann...

ich habe es umgeschrieben in 0,25x*(20-x)^0,5 

Answer 1

0,25x*(20-x)^0,5   = y      g=(20-x)^{1/2} g'=(-1/2)(20-x)^{-0,5})

y'= (0,25)(20-x)^{0,5}+ (0,25x)(-1/2(20-x)^{-0,5})

So alles klar?

Answer 2

hast Du Produkt- und Kettenregel beachtet?

Um die Produktregel zu umgehen wuerde ich \( f(x) \) erst noch weiter umformen.

\[ f(x)=\frac{1}{4} x \cdot \sqrt{20-x} \qquad x \leq 20 \in \mathbb{R} \]

\[ f(x)= \frac{1}{4} \cdot \sqrt{20x^2-x^3} \]

\[ f(x)= \frac{1}{4} \cdot (20x^2-x^3)^\frac{1}{2} \]

\[ f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (40x-3x^2) \cdot \frac{1}{2} \cdot (20x^2-x^3)^{-\frac{1}{2}} \]

\[ f'(x)= \frac{x\cdot(40-3x)}{8x \cdot \sqrt{20-x}} \]

\[ f'(x)= \frac{40-3x}{8 \cdot \sqrt{20-x}} \]

Nun gilt \( f' =0 \) wenn der Zaehler gleich 0 ist.

Gruss

Comments

Und wenn ich mein x einklammere, müsste es dann nicht 20x heißen anstatt x^2 ?

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meinst du √(x(20x-x^{3})

das so?                  

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Das Problem ist doch:

$$ x \cdot \sqrt{x}= \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x}= \sqrt{ x^2 \cdot x}= \sqrt{x^3} $$

Da man unter die Wurzel zieht muss man es quadrieren. Genauso beim späteren herausziehen wieder die Wurzel ziehen.

Answer 3

Allgemein :
( √ term ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )

Umgeformt zu einer Potenz geht die Ableitung wie folgt

√ term = term^{1/2}
( term^{1/2} ) ´ = 1/2 * term^{1/2-1} = 1/2 * term(^-1/2)