Steigung Kurve in Parameter Form

Question

Ich habe diese Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin was ich falsch mache:

Gegeben ist die Kurve in Parameterform durch

X(t)=cos t und y(t)=t²

Parameterwert t=0

Punkt ( 1/0)

Gesucht ist die Steigung im Punkt P

Ich weiß, dass gilt y'/x'=m

Y'= 2t und x'=-sin(t)

Aber die Lösung geht nicht weil man 0/0 nehmen müsste. Ich weiß nicht recht was ich falsch mache die Ableitungen müssten richtig sein

Answer 1

Da der Fragesteller seit einer Weile nichts mehr gepostet hat, möchte ich es mal versuchen.

Ich meine, dass man hier die Regel von L'Hospital anwenden muss:

$$\lim_{x\to 0}\frac { f(x) }{ g(x) }=\lim_{x\to 0}\frac { f'(x) }{ g'(x) }$$

Wie der Fragesteller richtig anfängt, ist die Steigung der parametrisierten Kurve

$$m=\frac { y'(t) }{ x'(t) }=\frac {2t }{-sin(t) }$$

Der Punkt P( x(t) = 1 / y(t) = 0) gibt uns Werte für ein einfaches Gleichungssystem:

$$x(t)= 1=cos(t) \rightarrow t=0$$

$$y(t)= 0=t^2 \rightarrow t=0$$

Wenn wir aber nun t = 0 in m einsetzen, erhalten wir Unfug:


$$m=\frac { y'(t) }{ x'(t) }=\frac {2(0) }{-sin(0) }=\frac {0}{0}$$

Wir können aber die Regel von L'Hospital anwenden und t gegen 0 gehen lassen! Daraus schließen wir dann auch:


$$\lim_{x\to 0}\frac { y'(t) }{ x'(t) }=\lim_{x\to 0}\frac { y''(t) }{ x''(t) }$$

Und wenden es an:

$$\lim_{t\to 0}\frac { 2t }{ -sin(t) }=\lim_{t\to0}\frac { 2 }{ -cos(t) }=\frac { 2 }{ -cos(0) }=\frac { 2 }{ -1 }=-2$$

Damit sollte die Steigung im Punkt P -2 sein. (Ich bitte um Korrektur, falls ich falsch liege!)

Comments

Schön übersichtlich aufgeschrieben. Könnte stimmen. -

Kann das aber nicht wirklich beurteilen.

Kannst du dir das Ergebnis so ungefähr z.B. an einem Graphenplotter bestätigen lassen?

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 ist halt etwas gestaucht. "Minus" könnte man wenigstens bestätigen. 

Stell vielleicht deine Antwort als neue Frage ein, wenn du eine bessere Antwort brauchst. Als "Antwort" beachtet die vielleicht nur der Fragesteller.

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Ich denke, es kommt hin. Für alle Werte f(x(t), y(t)) < 0 geht der Graph ja nicht weiter. Aber wenn man eine Tangente mit der Steigung -2 bei (1|0) hinplottet, dann scheint die obige Lösung richtig zu sein. Hier ist die Funktion rot, die Tangente bei (1|0) blau.

Auf der Seite hier habe ich geplottet. Dort können Kurven auch in Parameterform geplottet werden:

http://fooplot.com/#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDAw…

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Sehr schön. Danke für den Link.

Eine Frage wäre noch, ob man m = -2 so schreiben darf, wenn die Kurve in diesem Punkt praktisch "aufhört". Zumindest, wo die Kurve definiert ist, passt die Ableitung aber schön.

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Natürlich darfst du m = -2 schreiben. Eine Funktion bzw. eine Kurve stellt ja eine Punktmenge dar. Diese Punktmenge hat eine "allgemeine" Steigung, folglich gibt es eine Steigung in jedem einzelnen Punkt der Kurve.

Wenn du versuchst, Werte größer als x=1 in acos²(x) einzusetzen, dann geht es nicht. Für diese x kann man keine Steigung mehr angeben, für x=1 aber schon, weil du noch einen Funktionswert bekommst.

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Ups. War versehentlich ausgeloggt. Der Kommentar von Gast id2366 stammt von mir.

Answer 2

Grenzwert!

$$\lim_{x \rightarrow 0} \, \frac{x}{\sin (x)}$$

Comments

Könntest du das ein wenig weiter erläutern, wie du darauf kommst?

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Ich komme hier auch nicht weiter. Selbst bei der von dir vorgeschlagene Methode und auch bei der "h-Methode" komme ich nicht drum herum, durch 0 teilen zu müssen. Auch die Elimination von t und das Arbeiten mit y(x) bringt mich nicht weiter.

Ich würde mich auch über einen weiteren Tipp oder Hinweis freuen.

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$$\lim_{x \rightarrow 0} \, \frac{x}{\sin (x)} =1$$

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Danke, ich glaub ich hab's nun.