Parameter, Schnittpunkte

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Gerade ga und h.

ga: Vektor x= (0/0/2)+s*(a/2/-2)

h: Vektor x= (0/2/1)+t*(2/0/-1)

Aufgabe 1) Bestimmen Sie den Parameter a so, dass sich die beiden Geraden schneiden.

Aufgabe 2) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes an. 
Problem/Ansatz:

Habe für die 1) ganz normal die Geradengleichungen gleichgesetzt, rauskam a=-6 und für die beiden Parameter s=1 und t=-3. Alles schön und gut soweit. Hab dann s und a jeweils in g eingesetzt um den Punkt herauszubekommen (-6/2/0). Überprüfe ich das jetzt aber, indem ich die Probe mit h mache, kommt da leider was anderes raus und ich finde den Fehler leider einfach nicht...

Bitte um Hilfe

Answer 1

a = -6 ist falsch.

Korrekt wäre a = 2. Der gemeinsame Punkt liegt dann für s = t = 1 bei (2|2|0).

Answer 2

Hi, die Gleichungen für den Schnittpunkt lauten doch

$$  (1) \quad s a = 2 t \\  (2) \quad 2 s = 2 \\ (3) \quad 2 - 2 s = 1 - t $$

Aus (2) folgt \( s = 1 \) und damit aus (3) \( t = 1 \) also aus (1) \( a = 2 \)

Der Schnittpunt ist dann ( 2 , 2, 0)

Comments

Vielen lieben Dank. Ich hatte ein falsches Rechenzeichen drin und so wurde leider der größere Fehler drauß. Danke dir auf jeden Fall

Answer 3

Aloha :)

Ich komme beim Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen auf \(s=1\) und \(t=1\):

$$\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}a\\2\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right)$$$$s\cdot\left(\begin{array}{c}a\\2\\-2\end{array}\right)-t\cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2\\-1\end{array}\right)$$Aus der Gleichung für die 2-te Komponente, \(2s-0t=2\) folgt \(s=1\). Damit lautet die Gleichung für die 3-te Komponente, \(1\cdot(-2)-t\cdot(-1)=-1\), bzw. vereinfacht \(-2+t=-1\), sodass \(t=1\) folgt.

Aus der Gleichung für \(g\) erhalten wir mit \(s=1\) den Punkt \(S_g(a;2;0)\). Aus der Gleichung für \(h\) erhalten wir mit \(t=1\) den Punkt \(S_h(2;2;0)\). Die beiden Punkte \(S_g\) und \(S_h\) sind nur gleich für \(a=2\), also schneiden sich die Geraden nur in diesem Fall im Punkt \((2;2;0)\).