Allgemeine Lösung des homogenen Gleichungsystems bestimmen

Question

wir sollen eine Allgemeine Lösung des homogenen Gleichungsystems berechnen.

Das ist das Gleichungsysthem was uns gegeben wurde

$$\begin{matrix} -2 & 2 & -2 \\ -5 & 3 & -5 \\ 1 & -2 & 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}$$

 Ich habe dann die Zeilen berechnet:

$$II=(II*2)-(I*5)\\ III=(III*2)+I$$

Und hatte dieses raus

$$\begin{matrix} -2 & 2 & -2 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 6 \end{matrix}$$

 Dann habe ich:

$$III=(III*2)-II$$

gerechnet

 

Und habe das als  Zwischenergebnis raus.

 $$\begin{matrix} -2 & 2 & -2 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}$$ 

Und das ist die Lösung:

$$\xrightarrow { x } \quad =\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
  
  

Wie komme ich jetzt auf diese Lösung?

 

Kann mir jemand helfen ?

Answer 1

Hi,

Du hast eine Nullzeile, was bedeutet, dass Du einen der Parameter frei wählen musst. Hier wurde z = t gewählt. Nun kannst Du dank der zweiten Zeile y = -3 bestimmen und aus der ersten Gleichung ergibt sich dann vollends x = -3 - t, genau was Du unten in der Lösung hast.

Grüeß

Comments

Für x , y und z hab ich folgende Werte raus.

$$x = -3-z ; y = -3 ; z = 3-x$$

Um das jetzt mit der Lösung zu vereinbaren

Versuche ich folgendes zu machen.

$$\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}+\quad t\quad \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Irgendwie klappt es nicht.

Sind die Werte x, y, z überhaupt richtig ?

Gruß Joachim

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Abend Joachim,

Du kannst nicht eine Variable in Abhängigkeit der anderen angeben. Du musst eine Variable (bspw. z) als Parameter angeben. Hier wurde z = t gewählt.

Die letzte Zeile bei Dir besagt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Aus der zweiten Zeile erkennst Du schon, dass y = -3 sein muss. Nun wählt man z = t um x bestimmen zu können (man hätte auch x = t bestimmen können). Dann steht in der ersten Zeile:

-2x + 2y -2z = 0

-2x + 2*(-3) - 2t = 0

2x = -6-2t

x = -3-t

Das entpsricht genau der ersten Zeile in der erstgenannten Lösung.

Alles klar? :)

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ja soweit hab ich es verstanden :

Ist das bei der letzten Zeile in der erstgenannten Lösung genau so ?

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Was meinst Du mit genauso? Da wurde z = t gewählt :).

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Ahh ich glaube ich habe es verstanden.

jedenfalls konnte ich das bei anderen Aufgaben jetzt nachvollziehen.

danke danke !!