folgen und reihen - hilfe

Question

Kann mir bitte wer bei meinem Hausübungsbeispiel helfen... :) 

Answer 1

(b)  Für alle \(n>0\) gilt$$a_n-a_{n+1}=\frac{2+3n}{n^2+1}-\frac{2+3(n+1)}{(n+1)^2+1}=\frac{3n^2+7n-1}{(n^2+1)\big((n+1)^2+1\big)}>0.$$Die Folge ist also monoton fallend.

(c)  Nach (b) ist \(a_1\) eine obere Schranke.
Da alle Folgeglieder offenbar positiv sind, ist Null eine untere Schranke.

Answer 2

Hallo Anastasija,

a)  

 n =1,2,3,4,5 einsetzen und ausrechnen:

5/2 , 8/5 , 11/10 , 14/17 und 17/26

b)  

wenn die Folge überhaupt monoton ist, kann sie nur fallend sein, weil die ersten Glieder kleiner werden.

a_n+1 <  a_n  für alle n∈ℕ ?

⇔  (2+3•(n+1)) / ((n+1)²+1) < (2+3n) / (n²+1) 

⇔  (2+3•(n+1)) • (n²+1) < (2+3n) • ((n+1)²+1)

ausrechnen:

⇔  3·n³ + 5·n² + 3·n + 5 < 3·n³ + 8·n² + 10·n + 4

⇔ 0 < 3n² + 7n -1   ist wahr für alle n∈ℕ

→ a_n ist streng monoton fallend

c) 

Da a_n immer kleiner wird, ist a₁ = 5/2 eine obere Schranke

     Da a_n > 0  für alle n∈ℕ , ist  0 eine untere Schranke

d)  

lim_n→∞ a_n =  0  

(wenn man im Zähler und im Nenner jeweils n² ausklammert und wegkürzt, strebt der Zähler für n→∞ gegen 0, der Nenner gegen 1)

e) 

 (2+3n) / (n²+1) < 0,05

⇔ 2 + 3n  <  0,05·n² + 0,05

⇔ 0,05 n² - 3n  > 1,95

⇔ n² - 60n  > 39

⇔ n² - 60n + 30² > 39 + 30²

⇔ (n-30)² > 939

⇔ n - 30 > √939   oder  n-30 < -√939

⇔ n > √939 + 30 ≈ 60,6   (für positive n)

→  ab Nummer  n = 61  ist a_n < 0,05

Da alle Punkte (1|a₁) , (2|a₂) , (3|a₃) ...  auf dem Graph der Funktion 

x → (3+2x) / (x²+1) liegen, veranschaulicht deren Graph das Verhalten der Folge:

Deshalb könnte man das Monotonieverhalten der Folge auch mit Hilfe der Ableitung dieser Funktion untersuchen.

Gruß Wolfgang