sei \( K \) das Ereignis, dass man einen korrekten Würfel zieht, und \( \overline{K} \) sein Gegenereignis, sprich das Ereignis, dass man einen unkorrekten Würfel zieht.
Sei \( (6, 6, 6) \) das Ereignis, dass man dreimal hintereinander eine \( 6 \) würfelt.
Es ist
\( P(K) = \frac{999}{1000} \) und \( P(\overline{K}) = 1 - P(K) = \frac{1}{1000} \).
Außerdem ist
\( P((6, 6, 6) | K) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \) sowie \( P((6, 6, 6) | \overline{K}) = 1 \).
Der Satz von Bayes liefert uns einen Ausdruck für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
\( P(K | (6, 6, 6)) = \frac{P(K)}{P((6, 6, 6))}P((6, 6, 6) | K) \).
Zunächst ist
\( P((6, 6, 6)) = P((6, 6, 6) | K) P(K) + P((6, 6, 6) | \overline{K}) P(\overline{K}) \)
\( = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \frac{999}{1000} + 1 \frac{1}{1000} = 0,005625 \).
Dieser Ausdruck fehlte uns noch, um nun \( P(K, (6, 6, 6)) \) ausrechnen zu können:
\( P(K | (6, 6, 6)) = \frac{P(K)}{P((6, 6, 6))}P((6, 6, 6) | K) \)
\( = \frac{\frac{999}{1000}}{0.005625}\left(\frac{1}{6}\right)^3 = 0,8\overline{2} = 82,\overline{2}\ \% \).
Somit hast du die Lösung für Aufgabe a). Es empfiehlt sich hier für das bessere Verständnis, alle Rechenschritte auch selbst noch einmal nachzuvollziehen.
Für Aufgabe b) ist ein \( n \) gesucht, sodass die Wahrscheinlichkeit
\( P( \overline{K} | (6, 6, \dots, 6) ) \) größer als \( \frac{1}{2} \) ist, wobei \( (6, 6, \dots, 6) \) hier das (zunächst generische) Ereignis sei, dass eine \( 6 \) \( n \)-mal hintereinander gewürfelt wird.
Es ist
\( P((6, 6, \dots, 6)) = P((6, 6, \dots, 6) | K) P(K) + P((6, 6, \dots, 6) | \overline{K}) P(\overline{6}) \)
\( = \left(\frac{1}{6}\right)^n \frac{999}{1000} + 1 \frac{1}{1000} \).
Schließlich ist
\( P( \overline{K} | (6, 6, \dots, 6)) = \frac{P(\overline {K})}{P((6, 6, \dots, 6))}P((6, 6, \dots, 6) | \overline{K}) \)
\( = \frac{\frac{1}{1000}}{\left(\frac{1}{6}\right)^n \frac{999}{1000} + 1 \frac{1}{1000}} \)
\( = \frac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)^n 999 + 1} \stackrel{!}{>} \frac{1}{2} \),
wobei im letzten Schritt nun gefordert wird, dass diese Wahrscheinlichkeit größer \( \frac{1}{2} \) ist.
Umformen ergibt
\( \frac{1}{999} > \left( \frac{1}{6} \right)^n \)
\( \log(\frac{1}{999}) > n \log( \frac{1}{6}) \)
\( \frac{\log(999)}{\log(6)} < n \).
Wegen \( \frac{\log(999)}{\log(6)} \approx 3,85 \) muss \( n \geq 4 \) gelten.
Auch hier empfiehlt es sich zum besseren Verständnis, alle Einzelschritte auch nochmal selbst durchzugehen.
Mister
PS: Für den Ausdruck \( \frac{\log(999)}{\log(6)} \) ist jede Logarithmusfunktion zulässig, vorausgesetzt, du nimmst für den Nenner und Zähler nicht zwei unterschiedliche Logarithmusfunktionen, sondern ein und dieselbe (zum Beispiel den natürlichen Logarithmus \( \ln \)). Du kannst überprüfen, dass dieser Quotient für alle Logarithmusfunktionen immer denselben Wert annimmt.
