Die Lösungen dürfen in Polarkoordinaten angegeben werden. z^3= 1 + i√3.

Question

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z³= 1 + i√3. Die Lösungen

dürfen in Polarkoordinaten angegeben werden. 

Kann jemand bitte helfen

Answer 1

1. Schritt

Bestimme die Polardarstellung von

w =  1 + i√3. 

r = 2 und φ = 60°

w = 2*e^{iπ/3}

2. Schritt

Dritte Wurzel aus r berechnen; Argument durch 3 dividieren.

z₁ = ³√2 * e^{iπ/9} 

und für die 2. und 3. Lösung beim Argument 2π/3 bzw. 4π/3 addieren. Betrag ist bei allen 3 Lösungen gleich.

z₂ = ³√2 * e^{i(π/9 + 2π/3)} 

^{= ³√2 * ei(π/9 + 6π/9)} 

= ³√2 * e^7πi/9 

z₃ = ³√2 * e^{i(π/9 + 12π/9)}  

= ³√2 * e^i13πi/9  

Comments

Würde das nicht reichen?

---

Kommt auf die vollständige Fragestellung an.

Ich habe nur die 3 Lösungen angegeben, die man in die komplexe  Zahlenebene einzeichnen kann. Alle anderen k ergeben keine neuen Punkte mehr.

Du müsstest am Schluss

z_k = ^3√2 * e ^{iπ/9 + 2kiπ/3}  , k∈ ℤ haben.

Eine Summe von Brüchen solltest du noch auf einen Bruchstrich bringen.

---

Kannst du mir bitte erklären  wie du auf z_k = ³√2 * e^iπ/9 ^{+ i2kπ/3}. Die 9 würde mich interessieren.

---

60° = π/3

Durch 3 dividieren gibt π/9.

w vgl. hier: https://www.mathelounge.de/88942/komplexe-zahlen-berechnen-z-1-i√3