-1/2*e^{-x}*(cosx-sinx) Stammfunktion von e-Funktion e^{-x}*cosx?

Question

Aufgabe 25
(i) Zeigen Sie, dass die durch den Ausdruck -1/2*e^-x*(cosx-sinx) gegebene Funktion
eine Stammfunktion von x|-> e^-x*cosx ist.

(ii) Benutzen Sie dies, um den Wert des uneigentlichen Integrals

Integralzeichen mit oberer Grenze unendlich und unterer 0   e^-x*cosxdx = lim b|->unendlich Integralzeichen obere Grenze b und untere 0  e^-x * cos x dx
zu bestimmen.

(iii) Geben Sie eine Stammfunktion von x|-> e^-x*sinx an.

Answer 1

i)

F(x) = - 1/2·e^{-x}·(COS(x) - SIN(x))

F'(x) = e^{-x}·(COS(x)/2 + SIN(x)/2) + e^{-x}·(COS(x)/2 - SIN(x)/2)
F'(x) = e^{-x}·COS(x)

was zu zeigen war

 

ii)

F(∞) - F(0) = 1/2
F(b) - F(0) = e^{-b}·(SIN(b)/2 - COS(b)/2) - (- 1/2) = e^{-b}·(SIN(b)/2 - COS(b)/2) + 1/2

 

iii)

f(x) = e^{-x}·SIN(x)
F(x) = - e^{-x}·(COS(x)/2 + SIN(x)/2)

Comments

1. F'(x) = e-x·(COS(x)/2 + SIN(x)/2) + e-x·(COS(x)/2 - SIN(x)/2)
2. F'(x) = e-x·COS(x)


wie folge ich den 2. aus 1. ?

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Klammer e^{-x} aus und fassen dann die Klammer zusammen.

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(i) vollständig hier vorgerechnet bei Teilduplikat von gestern:

https://www.mathelounge.de/33152/zeigen-sie-dass-cos-x-sinx-eine-stammfunktion-von-e-x-cos-x-ist?show=33170#a33170