parameter bestimmen integralrechnung

Question

Bestimmen sie für welchen wert des Parameters a>0 die von f und g eingeschlossene Fläche A den angegebenen Inhalt hat.

Berechnen sie zunächst die beiden schnittpunkte von f und g in Abhängigkeit vom parameter a

f(x)= ax²  

g(x) = x

A= 2/3

Answer 1

Schnittpunkte    ax^2 = x

                   ax^2 - x = 0

                   x * ( ax -1 ) = 0

                     x = 0   oder   x = 1/a

Also Integral von 0 bis 1/a über   x - ax^2 dx  =  2/3

                                     1 / ( 6a^2 )   =   2/3

                                                 3 = 12a^2

                                                     1 / 4 =  a^2

                         weil a>0    a= 1/2

Answer 2

Die Schnittpunkte liegen bei x = 0 und x = 1/a. Also 2/3 = ∫₀^1/a(x-ax²)dx = [x²/2-ax³/3] in den Grenzen von 0 bis 1/a ergibt 1/(6a²) =2/3. Folglich a = 1/2.