Vereinfachung eines Doppelbruchs

Question

Hallo

Ich muss folgenden Doppelbruch so weit wie möglich vereinfachen:

$$\frac { \frac { 1 }{ a^ 2 } \quad -\quad 1 }{ 1-\quad \frac { 1 }{ a+1 } }$$

Ich bringe die beiden Brüche auf einen Hauptnenner und erhalte somit:

$$\frac { \frac { 1-(a^ 2-1) }{ a^ 2-1 } }{ \frac { (a+1)-1 }{ a+1 } }$$

Anschliessend vereinfache ich die Zähler, mache Binomen und multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

$$\frac { 2-a^ 2 }{ (a+1)(a-1) } \times \frac { a+1 }{ a }$$

Dann kürze ich so weit wie möglich und erhalte:

$$\frac { 2-a^{ 2 } }{ a^ 2-a }$$

Laut meinem Buch ist die Lösung aber

$$\frac { a }{ a-1 }$$

Ist die Lösung in meinem Buch richtig? Wenn ja, wo habe ich etwas falsch gemacht?

Comments

Tut mir leid. Die Aufgabenstellung sollte so sein:

$$\frac { \frac { 1 }{ a^ 2-1 } -1 }{ 1-\frac { 1 }{ a+1 } }$$

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Falls im Zähler wirklich ein "-" steht hast du nichts falsch gemacht. Falls da aber ein "+" steht kommt die Lösung aus dem Buch heraus.

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Im Buch steht tatsächlich ein "-". Leider sind einige Lösungen im Buch falsch. Vielen Dank für die Antwort.

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Jo kommt vor vermutlich ein Tippfehler.

Answer 1

Zähler: 1/(a² - 1) - 1 = (a² - 2)/((a + 1)·(1 - a))

Nenner: 1 - 1/(a + 1) = a/(a + 1)

Doppelbruch

(a² - 2)/((a + 1)·(1 - a)) / (a/(a + 1))

= (a² - 2)/((a + 1)·(1 - a)) * (a + 1)/a

= (a² - 2)/((1 - a)) * 1/a

= (a² - 2)/(a·(1 - a))

Answer 2

Vereinfachung eines Doppelbruchs