Aufgabe zum natürlichen Logarithmus

Question

ich habe folgende Aufgabe:  2e^-2x-e^x=0

Die Lösung lautet: -1/3 ln(1/2)= 1/3ln(2)

Da ich in den entsprechenden Unterrichtsstunden nicht da war, verstehe ich weder den Lösungsweg noch kann ich das Ergebnis nachvollziehen.

:)

Answer 1

2e^-2x-e^x=0

2e^-2x  = e^x  | ln

ln ( 2*e^{-2x}) = ln(e^x)        |  Logarithmengesetz

ln(2) + ln(e^{-2x}) = ln(e^x)      | ln ist Umkehrung von e hoch.

ln(2) + (-2x) = x

ln(2) = 3x 

(ln(2))/3  = x 

Ich bekomme hier direkt die Lösung ohne das Minus. Wolframalpha auch: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2e%5E(-2x)-e%5Ex%3D0 

Formeln findest zum Logarithmus du hier: https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus

Videos zu Exponentialgleichungen und Logarithmen, die kostenlos sind, sind:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=oDOXeO9fAg4

und

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=1J8PJyEBkM0

Answer 2

           

2e^-2x-e^x=0

Answer 3

Setze e^x = z. Dann gilt 2e^-2x=2/((e^x)²) = 2/z²

Die Gleichung heißt dann 2/z² - z =0 und nach Multiplikation mit z² heißt sie 2 - z³ = 0 oder z³ = 2.

Resubstituieren ergibt e^3x = 2 und Logarithmieren ergibt 3x = ln2 bzw. x = (ln2)/3.