Exponentialgleichung lösen. 3^{2x-1} - 11*9^{x-2} = (1/2)^{-2x}

Question

Aufgabe:

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen:

\( 3^{2 x-1}-11 \cdot 9^{x-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x} \)

Answer 1

9^x/3-11/81·9^x=4^x

9^x·(27/81-11/81) = 4^x

(9/4)^x = 81/16

x = 2

Answer 2

Hi,
$$ 3^{2x-1} - 11 \cdot 9^{x-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} $$
$$ (1) \quad \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} = 2^{2x} $$
$$ (2) \quad 3^{2x-1} - 11 \cdot 9^{x-2} = 3^{2x}\cdot 3^{-1}- 11\cdot  3^{2x}3^{-4} = 3^{2x}(3^{-1}-11\cdot 3^{-4})  $$
Also aus (1) und (2)
$$ 3^{2x}(3^{-1}-11\cdot 3^{-4}) = 2^{2x}  $$ also
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}=\frac{81}{16}=\left( \frac{3}{2} \right)^4  $$ also
$$ 2x = 4 $$ als $$ x=2  $$

Comments

Hallo warum kann man bei Schritt 1 deiner Rechnung sofort zu 2^{2x} vereinfachen?

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Hi,

$$  \left( \frac{1}{2} \right)^{-2x} = \frac{1^{-2x}}{2^{-2x}}  = \frac{1}{2^{-2x}} = 2^{2x} $$

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Ist das ein Potenzgesetz oder wieso darf ich nur die 1 im Zähler schreiben?

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Nach den Rechenregeln für Potenzen kannst du sofort$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2x} = 2^{2x} $$schreiben.

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\( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x}=\frac{1}{\frac{1}{2}^{2 x}} \)

Ich verstehe das Gesetz nicht.

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Hier nochmal zum besseren Verständnis:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x}=\frac{1^{-2 x}}{2^{-2 x}} \)
Das bleibt immer 1 unabhängig vom Exponenten.

\( =\frac{1}{2^{-2 x}} \)
\( =\left(2^{-2 x}\right)^{-1}=2^{2 x} \)

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Vielen Dank

Wenn ich dich richtig verstehe, gilt dies nur wenn eine 1 im Zähler steht oder?!

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Ja richtig.dadurch hast du sozusagen den Kehrwert des Kehrwerts. Des wegen kommt 2^2x mit positivem Exponenten raus

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Vielen Dank, ich denke diese Erkenntnis wird mir bei weiteren Aufgaben sicherlich hilfreich sein!

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Irgendwie komme ich nicht auf 81/16 sondern auf 16/81

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Du hast da einen entscheidenden Fehler gemacht. Wenn du durch 2^{2x} teilst, kommt da nicht 0 raus, sondern 1.

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Vielen Dank

Ich dachte, wenn ich  2^2x dividiere, dass auf der rechten Site dann null steht!!

Mit 1 auf der rechten Seite habe ich dann (3/2)^2x *(16/81) = 1

und kann danach (16/81) dividieren und auf der rechten Seite kommt dann der Kehrwert als Resultat von 16/81 heraus!

Jepp die Rechnung habe ich nun gelöst und verstanden

Besten Dank