Exponentialgleichung lösen. 32x-1 - 11*9x-2 = (1/2)-2x

Question

Aufgabe:

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen:

$3^{2 x-1}-11 \cdot 9^{x-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x}$

Answer 1

9^x/3-11/81·9^x=4^x

9^x·(27/81-11/81) = 4^x

(9/4)^x = 81/16

x = 2

Answer 2

Hi,
$$3^{2x-1} - 11 \cdot 9^{x-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x}$$
$$(1) \quad \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} = 2^{2x}$$
$$(2) \quad 3^{2x-1} - 11 \cdot 9^{x-2} = 3^{2x}\cdot 3^{-1}- 11\cdot 3^{2x}3^{-4} = 3^{2x}(3^{-1}-11\cdot 3^{-4})$$
Also aus (1) und (2)
$$3^{2x}(3^{-1}-11\cdot 3^{-4}) = 2^{2x}$$ also
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}=\frac{81}{16}=\left( \frac{3}{2} \right)^4$$ also
$$2x = 4$$ als $$x=2$$

Comments

Hallo warum kann man bei Schritt 1 deiner Rechnung sofort zu 2^2x vereinfachen?

---

Hi,

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2x} = \frac{1^{-2x}}{2^{-2x}} = \frac{1}{2^{-2x}} = 2^{2x}$$

---

Ist das ein Potenzgesetz oder wieso darf ich nur die 1 im Zähler schreiben?

---

Nach den Rechenregeln für Potenzen kannst du sofort$$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2x} = 2^{2x}$$schreiben.

---

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x}=\frac{1}{\frac{1}{2}^{2 x}}$

Ich verstehe das Gesetz nicht.

---

Hier nochmal zum besseren Verständnis:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2 x}=\frac{1^{-2 x}}{2^{-2 x}}$
Das bleibt immer 1 unabhängig vom Exponenten.

$=\frac{1}{2^{-2 x}}$
$=\left(2^{-2 x}\right)^{-1}=2^{2 x}$

---

Vielen Dank

Wenn ich dich richtig verstehe, gilt dies nur wenn eine 1 im Zähler steht oder?!

---

Ja richtig.dadurch hast du sozusagen den Kehrwert des Kehrwerts. Des wegen kommt 2^2x mit positivem Exponenten raus

---

Vielen Dank, ich denke diese Erkenntnis wird mir bei weiteren Aufgaben sicherlich hilfreich sein!

---

Irgendwie komme ich nicht auf 81/16 sondern auf 16/81

---

Du hast da einen entscheidenden Fehler gemacht. Wenn du durch 2^2x teilst, kommt da nicht 0 raus, sondern 1.

---

Vielen Dank

Ich dachte, wenn ich  2^2x dividiere, dass auf der rechten Site dann null steht!!

Mit 1 auf der rechten Seite habe ich dann (3/2)^2x *(16/81) = 1

und kann danach (16/81) dividieren und auf der rechten Seite kommt dann der Kehrwert als Resultat von 16/81 heraus!

Jepp die Rechnung habe ich nun gelöst und verstanden

Besten Dank