Drehwinkel und Drehachse der Matrix bestimmen

Question

Ich stehe gerade bei folgender Aufgabe etwas auf der Leitung:

Weisen Sie nach, dass die Matrizen Drehungen entsprechen und bestimmen Sie Drehwinken und Drehachse!

\( T_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {1} & {1}\end{array}\right), \quad T_{2}=\frac{1}{15}\left(\begin{array}{rrr}{5} & {10} & {10} \\ {-2} & {11} & {-10} \\ {-14} & {2} & {5}\end{array}\right) \) 

Ich weiß grundsätzlich wie eine Drehmatrix funktioniert, hab mir einige Videos dazu angesehen, aber kann ich beim ersten Beispiel einfach cos(φ) = 1/√2 annehmen?

Und wie komme ich dann auf die Drehachse?

Gruß!

Answer 1

Die Drehachse besteht aus Fixpunkten, also

löst du  die Gleichung  T * Vektor x = Vektor x

Das gibt bei T1:    den Punkt ( 0;0) Das ist dann

der Drehpunkt

bei T2 führt der Ansatz auf

7    -1       5
0     1       2
0     0      0 

also x3=t   und   x2= -2t    und x1 = - t

also x = ( -t ; -2t ;  t ) =  t* ( -1 ; -2 ; 1 )

also ist die Drehachse die Gerade durch (0;0;0) mit dem

Richtungsvektor  ( -1 ; -2 ; 1 )

Comments

Ich kann deine Rechengänge nicht ganz nachvollziehen...

Wie kommst du auf den Punkt ( 0;0)?

( 0;0) multipliziert mit einem Vektor ergibt doch nicht wieder diesen Vektor, oder habe ich hier etwas falsch verstanden?

---

T1 mal (0;0) gibt (0;0) .

Also ist (0;0) ein Fixpunkt. Und bei einer

Drehung ist das eben der Drehpunkt.

---

Ok, und durch den Winkel komme ich dann auf die Drehachse?

Bei T₂ bin ich mir auch nicht sicher wie du auf

7    -1       5
0     1       2
0     0      0 

kommst, danach ist alles nachvollziehbar :-)