Zylinder mit dem größten Volumen bestimmen

Question

Ich muss folgende Aufgabe lösen. Bestimme unter allen Zylindern mit gleicher Oberfläche,jenen mit größten Volumen.

Ich habe es schon vorgerechtnet,meine Frage ist ob die Rechnungen stimmen ,vielen Dank schon mal !

Answer 1

Sieht doch recht gut aus. Hier mal eine etwas kompaktere Lösung ohne Lagrange und ohne hinreichende Bedingung. Hinreichende Bedingung braucht man nicht solange man es begründen kann.

Ein Zylinder mit gegebener Oberfläche soll ein maximales Volumen haben.

Nebenbedingung

O = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2

h = O/(2·pi·r) - r

Hauptbedingung

V = pi·r^2·h

V = pi·r^2·(O/(2·pi·r) - r)

V = O·r/2 - pi·r^3

Extremstellen V' = 0

V' = O/2 - 3·pi·r^2 = 0

r = √(O/(6·pi))

h = O/(2·pi·r) - r = O/(2·pi·√(O/(6·pi))) - √(O/(6·pi)) = √(2·O/(3·pi)) = 2·r

Comments

Vielen vielen Dank für die Antwort, wäre es eventuell möglich dass Sie mir b) auch so erklären könnten  ? Muss es präsentieren und es muss richtig sein die Frage lautet.

Bestimme unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang jenes mit kürzester Diagonale.Ich habe das wieder versucht mit Lagrange zu lösen,jedoch hatte ich paar schwierigkeiten :(
Bitte erklären Sie mir es so gut wie das letzte bsp ,wäre ganz nett !

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Und noch eine kurze frage ,wenn ich unten r in h einsetze also in H) h = O/(2·pi·r) - r = O/(2·pi·√(O/(6·pi))) - √(O/(6·pi)) = √(2·O/(3·pi)) = 2·r

warum ist mein endergebnis dann 2 r ?

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√(2·O/(3·pi))

= √(4·O/(6·pi))

4 aus der Wurzel ziehen

= 2·√(O/(6·pi))

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Wenn du für die andere Aufgabe noch eine Frage aufmachst kann ich die dort beantworten.

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Verkürzt vorgemacht hab ich es bereits unter

https://www.mathelounge.de/34072/welches-rechteck-mit-beliebigem-umfang-langste-diagonale

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okay vielen dank ! aber wie kommt man auf

von

√(2·O/(3·pi))

auf

= √(4·O/(6·pi))

bzw. allgemein von O/(2·pi·√(O/(6·pi))) - √(O/(6·pi)) = auf √(2·O/(3·pi))

ich bin nicht der beste in mathe,aber brauche bitte die erklärung !

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Im ersten Fall darf man Brüche erweitern. Also Zähler und Nenner z.B. mit 2 multiplizieren. Das gilt auch für Brüche die Unter dem Bruchstrich stehen :)

Doppelbrüche löst man auf indem man mit dem Kehrwert multipliziert

O/(2·pi·√(O/(6·pi)))

= √(O^2/(4·pi^2))·√((6·pi)/O)

= √(O^2/(4·pi^2)·(6·pi)/O)

= √(O/(4·pi)·6)

= 3·√(O/(6·pi))

3·√(O/(6·pi)) - √(O/(6·pi)) = 2·√(O/(6·pi))

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Das ist schon sehr einleuchtend , eine allerletzte frage noch wie kommen man auf die

= √(O²/(4·pi²))·√((6·pi)/O) also auf die 4 ?

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Bitte lieber mathecoach erkläre mir das noch

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2^2 =4

sowie aus dem O unter der Wurzel O^2 wird.