Zeige, dass f in Rn bijektiv und gib die Umkehrabbildung an

Question

Sei $B=${$x\in \mathbb{R}^n: |x|<1$} und die Abbildung

$f:B\rightarrow \mathbb{R}^n$ mit $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x\cdot x}}$

wobei $x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i$ das Standardskalarprodukt ist.

Zeige, dass $f:B\rightarrow \mathbb{R}^n$ bijektiv ist und bestimme die Umkehrabbildung

$f^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow B$

Answer 1

durch die Angabe einer Umkehrfunktion kann man zeigen, dass $f$ bijektiv ist.

Die Umkehrfunktion ist

$f^{-1}(y) = \frac{y}{\sqrt{1 + y \cdot y}}$,

wie sich durch Einsetzen in $f(x)$ nachweisen lässt.

Mister

Comments

Wie kommst du auf diese Umkehrfunktion?

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Durch "Umstellen" von $y = f(x)$ nach $x$. Hierbei bricht man mit ein paar formalen Regeln, aber das Ergebnis dieses Ansatzes ist, wie du siehst, die Umkehrfunktion.