Differentialgleichung lösen, Homogene und Patrikuläre Stellen

Question

Heute Leute,

ich habe hier eine Differentialgleichung, die ich halbwegs lösen konnte, aber mir extrem unsicher bin, wie es weitergeht.

Die Gleichung lautet:

x''-2x+3x = 4e^t*cos(√2 t)

Die Homogene Gleichung habe ich schon herausgefunden. Für die patrikuläre Gleichung, haben wir eine Tablle bekoommen, aus der wir die Form der pat, Gleichung lösen können. Somit kam ich auf:

t*e^t*(C1*cos(√2 t)+ C2*sin(√2 t)

Wir sollen dies nun 2x ableiten und die Ableitung in der Hauptgleichung einsetzten umd C1 und C2 herauszubekommen.

Aber die Ableitungen und dsa einsetzten bekomme ich nicht hin. Ich weiß,  dass es die Produktregel gibt, aber dennoch verstehe ich das in dem Fall nicht.

Danke für eure Hilfe

Comments

Lautet die Aufgabe wirklich so?

x''-2x+3x = 4e^t*cos(√2 t)

Answer 1

ich denke, die Aufgabe lautet: x''-2x'+3x = 4e^t*cos(√2 t)

ich habe folgende part. Lösung erhalten.

EDIT: ich hatte versehentlich mit einer anderen Aufgabe gerechnet:

x_p= t( A e^t cos(√2 *t ) +B * e^t sin(√2 *t ))

x_p= √2 e^t *t *sin(√2 *t)

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Ich habe den Weg mal skizziert :

 

Comments

> A *t + B e^x cos(√2 *t) +C e^x sin(√2 *t)

das soll wohl

A *t +B e^t cos(√2 *t) +C e^t sin(√2 *t)

heißen.

ich meine auch, das der Ansatz nicht zum Ziel führt.

(vgl. meine Antwort)

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ich hatte versehentlich mit einer anderen Aufgabe gerechnet, habs jetzt geändert .

Answer 2

 

Ich gehe von x''-2x'+3x = 4e^t*cos(√2 t) aus

Nach meiner Tabelle:

http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf

erhalte ich für den Ansatz der partikulären Lösung

x_p  =  t · e^t · ( a·COS(√2·t) + b·SIN(√2·t) )  (hattest du auch)

und nach Einsetzen in die DGL (#)

x_p  = √2 · t · e^t · sin(√2 · t)     [ a = 0 , b = √2 ]

(Probe in der DGL ergibt die Richtigkeit)

(#)

Beim Ableiten ziehst du einen Faktor in die Klammer und wendest dann die Produktregel auf den Term an:

[ e^t · ( a ·t · COS(√2·t) + b · t ·SIN(√2·t) ] '

= e^t • ( a ·t · COS(√2·t) + b · t ·SIN(√2·t)  + e^t •  [ a ·t · COS(√2·t) + b · t ·SIN(√2·t) ] '

Beim Ableiten von [...] must du auf jeden Summanden noch einmal die Poduktregel anwenden ]

 Ergebnis:    e^t·((t·(a + √2·b) + a)·COS(√2·t) + (b - t·(√2·a - b))·SIN(√2·t))

1. Ableitung:  e^t·((t·(a + √2·b) + a)·COS(√2·t) + (b - t·(√2·a - b))·SIN(√2·t))

2. Ableitung:

- e^t·((t·(a - 2·√2·b) - 2·(a + √2·b))·COS(√2·t) + (t·(2·√2·a + b) + 2·(√2·a - b))·SIN(√2·t))

:-)

Gruß Wolfgang