Integralrechnung. Fläche berechnen zwischen y=x^2, Tangente und x-Achse.

Question

Hi könnt ihr mir bei den 2 Beispielen auf die Sprünge helfen ? Ich weiß leider nicht weiter.

Die Tangentengleichung konnte ich aufstellen y=2x-1 aber wie rechne ich bei diesen Beispielen weiter und ich schafe es nicht zbsp bei geogebra die Tangente einzuzeichnen :-/

Answer 1

∫_0..1 x² dx - ∫_½..1 2x-1 dx

Bei 0 ist der Schnittpunkt von x-Achse und Parabel. Bei ½ ist der Schnittpunkt von x-Achse und Gerade. Bei 1 ist der Schittpunkt von Parabel und Gerade. Von der Fläche unter der Parabel wird die Fläche unter der Geraden abgezogen.

> bei geogebra die Tangente einzuzeichnen

Ich kann mir nicht vorstellen, dass das anders geht als die Kurve y=x² einzuzeichnen.

Comments

Danke, hey ich hätte noch eine Frage udn zwar : Wenn ich die Fläche zwischen zwei Kurven berechnen will - heißt es ja f(x) - g(x)   ist es aber allgemein so? Bzw. woher weiß ich welche Fläche ich von welcher abziehe ?

Die größere Fläche - der kleineren ?

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> Wenn ich die Fläche zwischen zwei Kurven berechnen will - heißt es ja f(x) - g(x)

Ja, dass ist Allgemein so.

> woher weiß ich welche Fläche ich von welcher abziehe ?

Wenn du f(x) - g(x) berechnest, dann werden keine Flächen voneinander abgezogen sondern Funktionen. Und dabei ist es egal, welche Funktion du von welcher abziehst.

Allerdings darfst du zur Berechnung der Fläche nicht einfach das Integral berechnen.

Stattdessen musst du die Integrale zwischen benachbarten Nullstellen berechnen und dann die Beträge der Integrale addieren.

Beispiel. Die Fläche zwischen f(x) = -x³+6x²-11x+5 und g(x) = -8x+15 soll berechnet werden.

Es sei h(x) = f(x) - g(x) = -x³+6x²-3x-10.

Nullstellen von h(x) sind bei -1, 2 und 5.

Berechne für den Flächeninhalt |∫_-1..2 h(x) dx| + |∫_2..5 h(x) dx|. Ergebnis ist 81/2. Im Gegensatz dazu ist ∫_-1..5 h(x) dx = 0.

Answer 2

21.

f(x)=x^2

f'(x)=2x

f'(1)=2

t(x)=2x+n

t(1)=1=2*1+n --> n=-1

t(x)=2x-1

Im Diagramm siehst du wie die Fläche aussieht:

~plot~ x^2;2x-1 ~plot~

Die gesucht  Fläche entspricht dem Stück zwischen Parabel,x-Achse und Tangente.

Man braucht also die Nullstelle von t(x).

t(x)=2x-1=0

x=1/2

A=∫₀¹f(x)dx-∫_1/2¹ t(x)dx=∫₀¹x^2dx-∫_1/2¹ (2x-1)dx=1/3-[1-1-1/4+1/2]=1/3-(-1/4+1/2)=1/3+1/4-1/2=1/12

Answer 3

Hier meine Berechnungen für 21

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22.

Tangente
f ( x ) = t ( x )
f ´ ( x ) = t ( x )
( 1 | 1 )

f ( x ) = x^3
f ´( x ) = 3 * x^2
f ´ ( 1 ) = 3 * 1^2 = 3
m = 1

y = m * x + b
1 = 3 * 1 + b
b = -2

t ( x ) = 3 * x - 2

~plot~ x^3 ; 3 * x -2 ~plot~

Schaffst du die Berechnung nach Muster von 21 ?