Analytische Geoetrie - "Flugsicherung"

Question

ich habe hier eine Aufgabe bekommen, die ich in einer Woche lösen muss.

Nun leider ist die Aufgabe ziemlich generell gestellt und ich soll selbst bestimmen wie schwer ich sie löse.

Das erste Problem sind die Koordinaten. In Tabelle 1 (Bild) sind schon kartesische Koordinaten angegeben, in Tabelle 2 und 3 allerdings nicht.

Wie wandel ich die Daten in Tabelle 2/3 in Koordinaten wie in Tabelle 1 um?

Und wie erstelle ich nun die Geradengleichung der beiden Flugzeuge. Ich brauche ja bekanntlich einen Ortsvektor und einen Stützvektor.

Ich habe allerdings 3 Tabellen wobei ich ja eigentlich nur zwei brauche. Welche soll ich nun benutzen für die Geradengleichung?

Irgendwelche anderen Tipps für die Aufgabe?

Danke

Comments

Oh da hab ich einen Fehler gemacht. Eine Geradengleichung braucht natürlich einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.

Answer 1

> Wie wandel ich die Daten in Tabelle 2/3 in Koordinaten wie in Tabelle 1 um?

Skalarprodukt: (x₁ y₁ z₁) * (x₂ y₂ z₂) = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Länge |v| des Vektors v ist √(v*v).

Für den Winkel α zwischen den Vektoren v und w gilt cos α = v*w/(|v|·|w|).

Der Vektor N = (1 0 0) zeigt nach Norden.

Sei b = (b_x b_y b_z) der Ortsvektor der Boing 767 um 11:10:15. Dann ist

        b_z = 34009·0,3048 = 10365,9432.

Außerdem ist

        cos(48,4°) = (b_x b_y 0)*N/(|(b_x b_y 0)| · |N|)

        |(b_x b_y 0)| = 1470

Löse dieses Gleichungssystem.

> Und wie erstelle ich nun die Geradengleichung der beiden Flugzeuge.

So wie immer; die Gerade g durch zwei Punkte mit Ortsvektoren a und b kann durch die Gleichung

        g: x = a + r·(b-a)

dargestellt werden.

Comments

Allerdings versteh ich das alles nicht es ist sehr kompliziert erklärt um ehrlich zu sein^^

Könntest du vielleicht als Beispiel mal die Rechnung für die erste Tabelle darstellen damit ich ein Beispiel habe.

Und ja ich weiß wie man eine Geradengleichung erstellt jedoch gibt es 3 Tabellen welche der 3 Tabellen benutze ich dafür?

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Skalarprodukt: (1 2 3)*(4 5 6) = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 22

Länge des Vektors (1 2 3) ist |(1 2 3)| = √((1 2 3)*(1 2 3)) = √(1·1 + 2·2 + 3·3) = √(1+4+9) = √14 ≈3,74

Angenommen Höhe ist 10 Meter, Winkel ist 60° und Entfernung ist 30 Meter. Es ist also

        b_z = 10

Die erste Gleichung lautet

        cos(60°) = (b_x b_y 0)*(1 0 0)/(|(b_x b_y 0)| · |(1 0 0)|).

Dabei ist (b_x b_y 0)*(1 0 0) = b_x·1 + b_y·0 + 0·0 = b_x.

Außerdem ist |(1 0 0)| = √((1 0 0)*(1 0 0)) = √(1·1 + 0·0 + 0·0) = √1 =1

und |(b_x b_y 0)| = √((b_x b_y 0)*(b_x b_y 0)) = √(b_x² + b_y² + 0) = √(b_x² + b_y²).

Der Taschenrechner liefert außerdem cos(60°) = 1/2. Die erste Gleichhung kann also vereinfacht werden zu

        1/2 = b_x/√(b_x² + b_y²).

Da bereits |(b_x b_y 0)| = √(b_x² + b_y²) bekannt ist, lautet die zweite Gleichung

        √(b_x² + b_y²) = 30

Das zu lösende Gleichungssystem ist also

        1/2 = b_x/√(b_x² + b_y²)

        √(b_x² + b_y²) = 30.

> welche der 3 Tabellen benutze ich dafür?

Zunächst die erste und die zweite.

Dann das gleiche noch mal für die zweite und die dritte.

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Wie soll ich denn das Skalarprodukt ausrechnen wenn die Daten in Tabelle 2/3 gar keine Vektoren sind.

Ich brauch doch erst einmal den Vektor.

Das was du da rechnest ist doch schon der nächste Schritt zunächst einmal muss ich die Daten in einen Vektor umwandeln.

In der ersten Tabelle sind bei der Boeing 767 folgender Vektor angegeben:

(112x, 80y,10380z). x bestimmt die Entfernung. y bestimmt die Abweichung nach Norden und z bestimmt die Höhe.

Gucken wir also bei Tabelle 2 mal die Boeing 767 an.

34009 ft in Meter umwandeln = 10365,943. Somit habe ich ja schon z.

Könnte ich die Entfernung nicht auch einfach in Meter umwandeln?

1,47 km = 1470 Meter womit ich dann ja x hätte.

(1470x, y, 10365z). Wie bekomme ich jetzt y raus?

Oder ist das alles komplett falsch.

Tut mir leid für die ganzen Nachfragen aber ich habe hierbei wirklich Schwierigkeiten.

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> Wie soll ich denn das Skalarprodukt ausrechnen ...

Verabschiede dich von dem Gedanken, dass direkt irgendetwas ausgerechnet werden kann. Lösungsstrategie ist

1. Bedeutung von Variablen festlegen.
2. Variablen vewenden um Gleichungen aufzustellen.
3. Gleichungen lösen.

So wie ich das ab dem Satz "Angenommen Höhe ist 10 Meter, ... " gemacht habe.

Answer 2

In Tabelle 1 stehen dann also die Stützvektoren der beiden Geraden.

In 2 und 3 die Punkte, bei denen die Flugzeuge jeweils 5 sec. später sind.

Da sind wahrscheinlich nochmal 2 Punkte angegeben, damit man nachrechnen

kann. ob die sich wirklich auf annähernd geradlinigen Bahnen bewegen.

Die Umrechnung der Koordinaten geht bei der Boeing um 11:10:15 wohl so:

1,47 * cos(41,6°) = x   also x= 1,099 also  x-Koordinate ( in m) x = 1099

y = 1,47*sin(41,6°) = 0,976       also in m    y = 976

etc.             

Comments

Und ft im m umrechnen kann man ja googeln.

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Also im zweiten Bild von mir sieht man ja wie das Koordinatensystem aussehen soll.

y-Achse nach Norden x-Achse nach Osten und z-Achse gibt die Höhe an.

Ich glaube das ändert deine Rechnung, oder nicht?

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Ich meine nicht.

x nach Osten

y nach Norden

und z spielt ja nur für die Höhe eine Rolle.

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Nein guck auf meinem zweiten Bild das Koordinatensystem. y-Achse ist die in der Mitte

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Das ist doch ein Schrägbild.

In Wirklichkeit ist es räumlich vorzustellen.

Stell dich mal gerade hin und strecke den rechten Arm nach rechts aus,

dem linken nach vorn.

Dann zeigt der rechte Arm in x-Richtung der linke in Y-Richtung

und du selbst ( von Fuß bis Kopf ) in z-Richtung.