Partielle Ableitungen, Extremwerte, Steigung der Funktion, Richtung der Höhenlinie

Question

habe folgende Probleme bei dieser AufgabeAufgabe a) ist soweit kein Problem ....

Aufgabe b) bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig ist .... denn einmal liegt f´x = f`y vor, heißt ein Extrempunkt ist vorhanden und wenn ich weiterrechne mit der Hessematrix kommt raus, dass es nicht entscheidbar ist ?! Aufgabe c) und d) weiss ich leider nicht wie ich vorgehen soll ....

Comments

Neben ( 0 | 0 ) wäre auch noch ( -1 | -1 ) eine Extremstelle.
Eingesetzt in die 2.Ableitungen ergibt sich ein Hochpunkt.

Answer 1

f_x , f_xy  ...  stehen für die partiellen Ableitungen:

f_x = 3x² + 3y = 0

f_y = 3x + 3y² = 0

Das Gleichungssystem hat die Lösungen (0|0) und (-1|-1)

für jeden dieser 2 erhaltenen stationären (kritisichen) Punkte prüfst du (mit f_xx = 6x , f_yy = 6y und f_xy = 3  durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         < 0  → Sattelpunkt

                         = 0   nicht entscheidbar

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

        = 0   kann nicht vorkommen

Gruß Wolfgang

Answer 2

a)

f(x,y)=x^3+y^3+3xy

f_x(x,y)=3x^2+3y

f_y(x,y)=3y^2+3x

f_yy=6y

f_xx=6x

f_xy=3

b) f_x(x,y)=f_y(x,y)=0

3x^2+3y=0

3y^2+3x=0

--> x=0 und y=0 oder x=-1 und y=-1

einsetzen in  Hesse Matrix ((f_xx,f_xy),(f_yx,f_yy))

für x=0 und y=0 :

H=((0,3),(3,0)) --> Eigenwerte besttimmen, es ergibt sich λ=±3 , Eigenwerte positiv und negativ --> Matrix indefinit --> Sattelpunkt

Für  x=-1 und y=-1:

H=((-6,3),(3,-6)) : Eigenwerte: λ₁=-9, λ₂=-3 --> Matrix negativ definit--> Maximum

c) Richtungsableitung:

A=grad f(x,y)*a^→=(6,6)*(3,4)=18+24=42

d) Höhenlinie steht senkrecht auf Gradienten--> grad f(x,y)*r^→=0

--> (6,6)*(r_x.r_y)=0 --> r_x+r_y=0 --> r_y=-r_x 

Also z.B  Vektor r^→=(1,-1) 

Comments

vielen Dank für deine Antwort.

Mir ergeben sich jedoch noch ein paar Fragen:

- Wie kommst du bei der Aufgabe b) auf x=-1 und y=-1 ?

- Wie kommst du bei der Aufgabe c) auf f(x,y) = (6,6) ?

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ich antworte einmal für
- Wie kommst du bei der Aufgabe b) auf x=-1 und y=-1 ?

1.Ableitung zu null setzen

3*x^2 + 3y = 0
3*y^2 + 3x = 0

1.) x^2 + y = 0
2.) y^2 + x = 0

1.) y = - x^2
in
2.) (-x^2 )^2 + x = 0
x^4 + x = 0
x * ( x^3 + 1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x^3 +   1 = 0
x = -1

Eingesetzt in 1.)
(-1)^2 + y = 0
y = -1

mfg Georg

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bei b)

die Gleichungen lauten:

3x²+3y=0 

3y²+3x=0

bzw. vereinfacht:

x²+y=0  ---> x=±√[-y], ij Gleichung 2) einsetzen

y²+x=0

1.Fall : x=+√[-y]

y²+x=y²+√[-y]=0

y²=-√[-y]

y^4=-y

y^4+y=0

y*(y^3+1)=0 ---> y=0 oder y=-1

2.Fall : x=-√[-y]

y²-√[-y]=0

y^2=√[-y]

y^4=-y --> selbe Lösungen y=0 oder y=-1

für y=0:

x²+y=x^2+0=0 --> x=0

für y=-1:

y²+x=1+x=0 --> x=-1

c) 

gemeint war grad f(x,y)=(6,6)

grad f(x,y)=(d/dx f(x,y),d/dy f(x,y))

--> grad f(x,y)=(3x^2+3y,3y^2+3y)

grad f(1,1)=(3*1^2+3*1,3*1^2+3*1)=(6,6)