Restgleichheit bei Division durch 3 als Äquivalenzrelation in der Menge N?

Question

Die natürlichen Zahlen a, b heißen restgleich bei der Division durch 3, wenn jeweils der gleiche Rest bleibt.

Zeigen Sie: Diese Restgleichheit bzgl. der Division durch 3 ist eine Äquivalenzrelation der Menge N.

a -₃ b

Stellen Sie die Äquivalenzklassen K(0), K(1), K(02) als Teilmenge von N dar.

Außerdem knappe Darstellung dieser Mengen mit Hilfe von Variablen.

Ich weiss, das in K(0) zB 3, 6, 9, ein Vielfaches von 3 ist.

K(1) = 4, 7, 10, usw.

K(2) = 5, 8, 11, usw.

Alle möglichen Zahlen sind aus den natürlichen Zahlen, also N.

Weiss jemand wie es weiter geht?

Answer 1

also  K(0) = { x ∈ IN  |   Es gibt k ∈ IN mit  x = 3*k }

K(1) = { x ∈ IN  |   Es gibt k ∈ IN mit  x = 3*k + 1 }

K(2) = { x ∈ IN  |   Es gibt k ∈ IN mit  x = 3*k + 2 }

und der Nachweis  "Äquivalenzrelation "

fehlt noch.

Comments

also auf reflexiv, symmetrisch und transitiv prüfen?

Kann das eventuell jemand erklären?

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Genau:

reflexiv: zu zeigen  Für alle a aus IN  gilt

a  restgleich bei der Division durch 3 mit a  klar!

wenn  a  restgleich bei der Division durch 3 mit b

dann auch b  restgleich bei der Division durch 3 mit a

passt auch

und transitiv entsprechend, es werden sozusagen nur die

Eigenschaften der Gleichheit vererbt.

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Kannst du die Transitivität nochmal erklären?

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wenn  a  restgleich bei der Division durch 3 mit b

und  b  restgleich bei der Division durch 3 mit c

dann haben sowohl a also auch b als auch c den

gleichen Rest bei der Div. durch 3.

Also auch   a  restgleich bei der Division durch 3 mit c