Extrema berechnen. f(x) = (x^2+1)/(x^2-1)

Question

So meine Frage bei (a) ist folgendes: Was mache ich nach dem zweiten Ableitung von f?

Ich habe f = -4x / (x4-2x2+1), und dann f ` = (12x² + 4) / (x⁶-3x⁴+3x²-1)

Und wie genau berechne ich loc Min und Max?

Nullstelle habe ich bei -4x gefunden (x=0).

Für b) brauche ich auch Hilfe :( Wäre super wenn mir jemand helfen konnte :)

Comments

zu a) Ich schlage nach den Vorarbeiten vor, das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle x=0 zu prüfen und  daraus auf Existenz und Art des Extremums dort zu schließen. Ich sehe hier noch keine ungewöhnlichen Besonderheiten, die das unmöglich erscheinen lassen.

Weiter würde ich vorschlagen, mal die hier vorhandene Symmetrie auszunutzen.

Answer 1

So meine Frage bei (a) ist folgendes: Was mache ich nach dem zweiten Ableitung von f?

Ich habe f = -4x / (x4-2x2+1), und dann f ` = (12x² + 4) / (x⁶-3x⁴+3x²-1)

Und wie genau berechne ich loc Min und Max?

Nullstelle der ersten Ableitung  habe ich durch  -4x = 0

gefunden (x=0).

Das Ergebnis bei f ' ' einsetzen

f ' ' (0) = 4 / -1 =  -4   < 0   Also lok. Maximum bei x = 0

Für b) brauche ich auch Hilfe

für x gegen unendlich umschreiben

f ( x)  = ( 1 + 1/x^2  )   /   (  1  -  1 / x^2 ) 

Die Terme mit  1 / x^2 gehen gegen 0, also Grenzwert 1.

Für den zweiten betrachet  f ( 1 - h )  für positives h gegen 0

f(1 - h ) = (  ( 1-h) ^2  + 1  ) / (  ( 1-h ) ^2  - 1 )  =  ( h^2 - 2h +2 ) / ( h^2 - 2h )

=  ( h - 2 + 2/h ) / ( h - 2 )

Für pos.  h gegen 0  geht der Zähler gegen  + unendlich und der Nenner gegen -2 ,

also insgesamt GW  - unendlich.

Der 3. so ähnlich.

Answer 2

Die Kandidaten für lokale Extrema sind die Lösungen der Gleichung f'(x)=0.

Falls x die Gleichung f'(x)=0 löst, und  die Ableitung  links von x positiv und rechts von x negativ ist, so ist x eine lokale Maximumstelle.


Für b, gleich was ist der folgende Grenzwert ?

$$\lim_{x \to a} \frac{a_n x^n+ \dots+ a_0}{b_n x^n+ \dots+ b_0}$$