Exponentialgleichung 2^{x+1} +2^{x+2} = 2*3^{x-1} mit Logarithmus lösen

Question

Die Gleichung lautet wie folgt:

2^x+1 +2^x+2  = 2*3^x-1

Ich hab versucht die Gleichung umzuformen

(1/2)*2^x+2 + 2^x+2 = 2*3^x-1  | : 1/2

2^x+2 + 2^x+2 = 4*3x-1 |z.f

2*2^x+2 = 2*3^x | :2

2^x+2 = 3^x    |Log()

log(2)x + log(4) = log(3)x  | - log(4) |-log(3)x

x*(log(2) - log(3)) = -log(4)

Das Ergebnis habe ich mir nicht notiert, aufjedenfall ist das Ergebnis falsch.

Weiß jemand was ich falsch gemacht habe ?

Answer 1

Bereits deine 3. Zeile ist falsch. Wenn du durch 1/2 teilst bzw. mit 2 multiplizierst musst du jeden Summanden mit 2 multiplizieren.

Ich mache es daher einfach mal neu.

2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 2·3^{x - 1}

2·2^x + 4·2^x = 2/3·3^x

6·2^x = 2/3·3^x

(2/3)^x = 2/18

x = LN(2/18) / LN(2/3) = 5.419

Answer 2

Ich verasuche mal deinen Weg zu korrigieren:

Ich hab versucht die Gleichung umzuformen

(1/2)*2^x+2 + 2^x+2 = 2*3^x-1  | : 1/2

2^x+2 + 2*2^x+2 = 4*3^x-1 |z.f

3*2^x+2 = (4/3)*3^x | : (4/3)

9/4 * 2^x+2 =(4/3)* 3^x    |Log()

log(9/4) + log(4) +x* log(2) = log(3)x  | - log(4) |-log(3)x  -log(9/4)

x*(log(2) - log(3)) = -log(4)   -log(9/4)

x*(log(2) - log(3)) = -log(9)  

x =  2*ln(3)  /   ln( 3/2) 

Answer 3

   eure Lehrer machen das meistens ziemlich chaotisch. Es kommt nicht auf die Primzahlzerlegung an; es kommt darauf an, dass im Exponenten nur x steht und nicht 4 711 x + 123 . Bei uns ist diese Normalform sogar fegeben.

     2  *  2  ^ x  +  4  *  2  ^ x  =  2/3  *  3  ^ x     |  :  2      (  1  )

    auch Gleichungen sind zu kürzen; bei mir würd's ja Strafpunkte hageln ohne Ende.

      3  ^ x  =  9  *   2  ^  x   |   :  2  ^ x      (  2  )

   Damit, dass im Exponenten nur x steht, erreichst du, dass du alle Basen zusammen fassen kannst:

      ( 3/2 )  ^ x  =  9   |  log    (  3a  )

    Und vor allem: Nicht eher logaritmieren, als du es motivieren kannst.

     x  =   log  (  9  )  /  log  (  3/2  )     (  3b  )

         =  2  log  (  3  )  /  log  (  3/2  )     (  3c  )

     ( 3c ) ist noch mein Zugeständnis an alle Fans von Primzahlzerlegungen.

Comments

Vive la liberté et la justice !!

Richtig schön, dass du wieder einen Account hast :).

Hier eine Nachricht für dich mit der Bitte um einen Kommentar:                                                                 

https://www.mathelounge.de/311467/einstein-relativitatstheorie-lichtgeschwindigkeit

(Ganz, ganz unten...)

Liebe Grüße

Sophie