SQRT(2)*sin²(x)+cos(x)=1 nach x aufloesen

Question

Wie wandel ich in der gleichung wurzel 2 um; sin²x ersetze ich durch 1-cos²x

SQRT(2)*sin²(x)+cos(x)=1

Answer 1

Falls ich die Gleichung richtig verstehe, kannst du sie folgendermaßen lösen:

√(2)*sin²(x) + cos(x) = 1

√(2)*(1-cos²(x)) +cos(x) - 1 = 0

-√(2)*cos²(x) + cos(x) +√(2)-1 = 0

 

Jetzt kannst du das ganze erstmal als quadratische Gleichung in y = cos(x) behandeln:

-√(2)*y² + y + √(2)-1 = 0  |:(-√(2))

y² - 1/√(2) * y - 1 +1/√(2) = 0

y² - 1/√(2) * y - (√(2) -1)/√(2) = 0

Mit der pq-Formel ergibt sich dann:

y_1/2 = 1/(2√(2)) ± √(1/8 + (√(2) -1)/√(2))

y₁ = 1

y₂ ≈ -0.2929

 

Also hast du nun zwei mögliche Lösungen:

cos(x₁) = 1

cos(x₂) = -0.2929

Das ergibt:

x₁ = 2πn     für n∈ℕ

x₂ = 2πn ± 1.868     für n∈ℕ

Comments

Falls das allerdings immer noch aus der Aufgabe

√(2*sin²(x)) kommt, dann sag ich am besten nochmal:

 

√(2*sin²(x)) ≠ √(2) * sin²(x)

 

sondern:

√(2*sin²(x))=√(2) |sin(x)|