Betragsfunktion ableiten. f(x) = ln |(x-2)/(x+1)|

Question

f(x) = ln |(x-2)/(x+1)|

Muss ich hier erst den Betrag mit einer Fallunterscheidung auflösen und dann quasi eine abschnittsweise definierte Funktion ableiten oder kann man das hier auch anders lösen?

Comments

Diese Funktion hat Definitionslücken (\( -1 \) und \( 2 \)), die man beachten muss.

Siehe https://www.google.de/search?q=log(abs(x))&ie=utf-8&oe=utf-8&gfe_rd=cr&ei=M33eV_VH7-PzB-fGiPgD#q=log(abs((x-2)%2F(x%2B1))).

Die Betragsfunktion \( g(x) = |x| \) ist nur für \( x \neq 0 \) differenzierbar.

Answer 1

Ich mache das jetzt bewusst mit der Kettenregel obwohl es wie MatheMB schrieb deutlich einfacher ist

f(x) = LN(ABS((x + 1)/(x - 2)))

f'(x) = 1/ABS((x + 1)/(x - 2)) * SIGN((x + 1)/(x - 2)) * (- 3/(x - 2)^2)

f'(x) = 1/((x + 1)/(x - 2)) * (- 3/(x - 2)^2)

f'(x) = (x - 2)/(x + 1) * (- 3/(x - 2)^2)

f'(x) = -3/((x + 1)(x - 2))

Beim LN braucht man das aber wie gesagt nicht weil

[LN(x)]' = [LN(-x)]' = 1/x

Comments

Hast du SIGN (...) mit ABS weggekürzt?

Für was steht das SIGN?

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SIGN(x) Ist das vorzeichen von x. ABS(x) ist der betrag von x.

ABS(x) * SIGN(x) = x

Der Betrag von x mal das Vorzeichen von x ist natürlich x.

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Ok. Aber die Ableitung von x+1/(x-2) ist doch mit -3/(x-2)^2 schon erledigt. Wofür also das SIGN  (x+1)/(x-2) ?

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Das SIGN((x + 1)/(x - 2)) ist die äußere Ableitung zu ABS((x + 1)/(x - 2)). Denke halt an die Kettenregel. 

Äußere Ableitung mal innere Ableitung

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Ich hab noch keine Funktionen mit Betrag abgeleitet.  Ohne Betrag würde man aber nur mit -3/(x-2)^2 nachdifferenzieren oder?

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Ableitung von Betrag von z, wenn z eine innere Funktion ist, ist:

[ |z| ]' = SIGN(z) * z'

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Und wie krieg ich dann das SIGN weg? So hilft einem das bei der Kurvendiskussion ja auch nicht weiter.

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Notfalls dafür auch eine Fallunterscheidung.

Das kommt aber darauf an was du in einer Kurvendiskussion möchtest. Langt es eventuell die Ableitung = 0 zu setzen für Extremstellen? Dann brauchst du das SIGN ja nicht unbedingt weg bekommen.

Du kannst dann die Fallunterscheidung aber nach der Ableitung machen und brauchst sie nicht vorher machen.

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Also SIGN  (x) wäre einfach + und minus x?

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SIGN(x) ist 1 für x > 0

SIGN(x) ist 0 für x = 0

SIGN(x) ist -1 für x < 0

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Also einfach das Vorzeichen ok.

Aber ich weiß immer noch nicht wie du oben in der dritten Zeile SIGN (.....) im Zähler und die Betrags Zeichen im Nenner eliminiert hast.

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Ich hatte doch geschrieben, dass

ABS(x) * SIGN(x) = x

und auch

1/ABS(x) * SIGN(x) = 1/x

Answer 2

das ist völlig egal; für

\( f_1(x) = \ln (+(x-2)/(x+1)) \)

bzw.

\( f_2(x) = \ln (-(x-2)/(x+1)) \)

ergibt sich die gleiche Ableitung.

Grüße,

M.B.

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Und wie macht man das allgemein bei betragsfunktionen?

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Du kannst den Betrag mit der Kettenregel ableiten.

Das ist wie eine äußere Funktion.

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Kannst du mir das bei der Funktion mal zeigen?