In der Aufgabe gegebene Menge aus Q ist Untergruppe von R

Question

Hi. Wir haben eine Untergruppe so definiert :

Eine Untergruppe ist eine nicht-leere Teilmenge H von G, so dass für alle a;beH
folgt ab^{-1} eH.

Nun habe ich mir folgendes zur Vorliegenden Aufgabe überlegt:

Ich wähle für a+b wurzel(2) das Inverse Element von c+d wurzel (2).

Zu zeigen ist :(a+b⋅ wurzel(2)) / (c+d*wurzel (2))eQ.

Nach Erweiterung des Bruches mit der 3. Binomischen Formel und ausklammern des Zählers, komme ich auf folgenden Term.

(ac+b*wurzel(2)-ad*wurzel(2)-2bd) /(c2−2d2)eQ.

Nun weiß ich leider nicht mehr weiter.

Danke schon einmal im Voraus ;-)

Comments

$$\frac{a+b\sqrt2}{c+d\sqrt2}=\frac{(a+b\sqrt2)(c-d\sqrt2)}{(c+d\sqrt2)(c-d\sqrt2)}=\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-2d^2}\sqrt2\in\mathbb Q[\sqrt2].$$

Answer 1

(ac+bc*wurzel(2)-ad*wurzel(2)-2bd) /(c2−2d2)

(ein c fehlt)

Damit hast du es doch schon fast:

Mach daraus

(ac -2bd)/ ( c² - 2d²)    +  (  bc - ad ) /   ( c² - 2d²)  √2

Das grüne sind rat. Zahlen, also ist das ganze aus Q[√2].