Beweis der Injektivität, für eine bestimmte Bedingung

Question

Ich habe Schwierigkeiten einen passenden Beweis zu finden,

Mein Ansatz scheint mir falsch zu sein :(

Aufgabe:

Sei f: A→B eine Abbildung. Beweise:

f ist injektiv genau dann, wenn ∀X,Y ⊂ A: f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y)

* Kann ich sagen f(X ∩ Y)∈B für alle a∈(X ∩ Y)?

Mein Ansatz ist für einen Widerspruchsbeweis:

Z.z: ∀X,Y ⊂ A: f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y) ∧ (f ist nicht injektiv)

Bew.: Sei a∈(X∩Y) beliebig, also a∈X und a∈Y, sowie a∈A. Es gilt:  f(a) = f(a) ∩ f(a)=f(a), wenn f nicht injektiv wäre, würde a≠a gelten, was ein Widerspruch zu a∈(X∩Y) ist bzw. generell keinen Sinn ergibt.

Somit muss die Abbildung injektiv sein.

Irgendwie so...

Answer 1

Vor   ∀X,Y ⊂ A: f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y)

Beh:   f ist Injektiv


Bew:   Wäre f nicht Injektiv, dann gäbe es a,b aus Amit a≠b 
aber  f(a) = f(b) = z  und z aus B

Dann ist aber mit X={a} und Y = {b} X∩Y =∅  
also  auch  f(X∩Y )=∅ Aber  f(X) =  {z}   und   f(Y)  =  {z} 
also    f(X) ∩ f(Y)  =  {z}  und damit 

f(X ∩ Y) ≠ f(X) ∩ f(Y)     Widerspruch !

Also f Injektiv.Nun noch die Rückrichtung !
 

Comments

Danke, der Anstoß hat mir gefehlt. Habe alle weiteren Aufgaben komplett alleine lösen können - bis jetzt-.