zz.: ∀x,y∈ K, x≠n ∃! z∈ K : x*z =y
Das heißt in Worten:
Für alle x,y aus K , bei denen x nicht das neutrale El.
(der Addition (Das ist wohl ° ??= ist ) gibt es ein z in K mit x*z=y
Oder , damit es eine Folgerungsaussage gibt:wenn x≠n dann gibt es z mit x*z = y .
Also müsste dein Widerspruchsbeweis so beginnen
Angenommen es gibt ein x≠n und für alle z gilt x*z ≠ y
dann ..... und müsstest daraus einen Widerspruch
herleiten.
Das scheint mir schwierig. Mach dir doch erst mal die
Aussage ( etwa am Körper Q ) klar:
Wenn du da zwei Zahlen hast etwa 1/2 und 10 , dann gibt es
in der Tat so ein z, nämlich 1/2 * 20 = 10 .
Und wenn du statt 1/2 die 0 nimmst, geht es eben nicht.
Allgemein musst du überlegen: Wie komme ich an
das z ? wenn x*z = y gelten soll.
Na klar, das z muss y / x sein, oder in der allgemeinen
Sprache der Körper formuliert z = x-1 * y . Das wäre die
Beweisidee. Könnte dann so aussehen:Seien x,y aus K und x≠n . Dann besitzt (Körperaxiom)
x ein multiplikatives Inverses x-1 Und mit z = x-1 * y gilt dann:
x* ( x-1 * y ) assoziativ !
= ( x* x-1 )* y wegen invers
= n * y wegen neutral
= y
Also gibt es mit z = x-1 * y ein Element, das das
Gewünschte leistet.
