Stetige Funktion Fixpunkt Bedingung

Question

Hallo FreundeSeien zwei Intervalle durch I₁ = [a,b], I₂ = [b,c] ⊂ ℝ gegeben mit a < b < c und seien f₁ : I₁ → ℝ und f₂ : I₂ → ℝ stetige Funktionen. Zeige Sie, dass die Funktionen

f: [a,c] → ℝ, x → { f₁(x) falls x ∈ [a,b)f: [a,c] → ℝ, x → { f₂(x) falls x ∈ [b,c]genau dann stetig ist, wenn f₁(b)=f₂(b) gilt.Ich habe in vorangegangen Aufgaben gezeigt, dass das Intervall [a,c] stetig ist, nur kann ich das irgendwie nicht transponieren, sodass ich die Bedingung f₁(b)=f₂(b) zeigen kann. Kann mir hier jemand Schützenhilfe geben, wie die Aufgabe zu lösen ist?Danke

Answer 1

Wenn f stetig ist, dann ist lim_x→b f(x) = f(b). Weil dann aich der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen  Grenzwert ist und f₁ stetig ist, muss f₁(b)=f(b)=f₂(b) sein.

Über die Gleichheit von linksseitigem und rechtsseitigen  Grenzwert im Falle von f₁(b)=f₂(b) kommt man auch wieder zurück zur Stetigkeit.