In Abhängigkeit für p alle reellen Zahlen x bestimmen mit x/p - 2p/x < 2

Question

Es sei p>0 eine gegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von p alle reellen Zahlen x ≠0 mit

x/p - 2p/x < 2

Kann mir jemand erklären wie ich da ran geh?

Answer 1

x/p - 2p/x < 2 | * px            D = ℝ / {0}  , p>0 

1. Fall x > 0

x² - 2p² < 2px

x² - 2px - 2p² < 0

die Nullstellen des linken Parabelterms sind  

x_1,2 = p ± √( p² + 2p²)  = p ± √(3p²)

x₁ = p·(1 - √3)  und   x₂ = p·(1 + √3)

Der Term stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar, ist also zwischen den Nullstellen in D negativ:

L₁ = ] 0 ; p · (1 + √3) [  

2. Fall: x < 0 

x² - 2p² > 2px

x² - 2px - 2p² > 0 

..... analog zu oben 

L₂ = ] - ∞  ;  p · (1 - √3) [ 

L = L₁ ∪ L₂ =  ] - ∞  ;  p · (1 - √3) [ ∪ ] 0 ; p · (1 + √3) [  

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die Antwort.

Kannst du mir deinen Schritt zur ermittlung der Nullstellen erklären bei mir klappt das mit der PQ- Formel nicht wegen dem Term 2px welcher bei einsetzten in die PQ Formel p darstellen würde.

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und hab ich das richtig verstanden das man bei der Parabel den bereich zwischen den nulltstellen betrachtet um damit eben grenzen/intervalle für x zu bestimmen?

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In die pq-Formel für

x² + p · x + q = 0

musst du hier

x² - 2p · x - 2p² = 0

p = -2p  und q = -2p²  einsetzen.

[ ist ein wenig lästig mit dem gleichen Buchstaben p :-)]  

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Eine nach oben geöffnete Parabel  hat zwischen den Nullstellen negative und ansonsten positive Funktionswerte.

Bei einer nach unten g.P. ist es umgekehrt.

Damit hat man durch Betrachtung der Nullstellengleichung direkt die Lösungsmengen für die entsprechenden Ungleichungen.

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Danke für deine Hilfe :) und das mit der pq Formel war nen dummer denk Fehler von mir das zweite x ist ja trivial für die pq Formel wie du ja schon kenntlich gemacht hast :D