A relation B genau dannn wenn ( a geschnitten b) vereinigt mit(a^c geschnitten b^c)

Question

Die Aufgabe ist zu beweisen dass die gegebene Relation eine Äquivalenzrelation ist und die Äquivalenzklassen anzugeben ich komm leider nicht weiter würde mich über Hilfe freuen.

Vielen dank schon mal.

Comments

Was ist jetzt die Äquivalenzrelation?

$$A\sim B \Leftrightarrow (A \cap B) \cup (A^c \cap B^c)$$

Wenn es existiert? Wenn es nicht leer ist? Das linke ist eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, das rechte ist ein Objekt. Da fehlt wohl ein Teil der Angabe?

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grundsätzlich ist auf diese Art erst einmal eine Relation definiert.

Nun soll geprüft werden, ob dies auch eine Äquivalenzrealtion ist. D.h. es ist zu prüfen, ob die gegebene Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Und falls dies zutrifft, gibt es eine Klasseneinteilung, die anzugeben ist.

Grüße,

M.B.

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Also dass es eine äquivalenzrelation ist habe ich bewiesen doch wie geb ich nun die Äquivalenzklassen an?

MFG

Fabio

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@MB

> grundsätzlich ist auf diese Art erst einmal eine Relation definiert.

Welche Art ?

Durch einfache Angabe einer Menge ist eine Relation wohl nur dann definiert, wenn es sich um eine Menge der Form UxV handelt. Davon ist hier aber nirgendwo die Rede.

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Wenn ich mit deiner Def. prüfen wollte, ob etwa eine Menge A  (Teilmenge von C )

 mit sich selbst   in dieser Relation steht, muss ich wohl bilden:


(A∩A)  ∪ ( A^C ∩ A^C)    Das wäre dann

A  ∪   A^C   und das wäre in diesem Fall ganz C.

Ist das vielleicht die Bedingung: 
 
(A∩B)  ∪ ( A^C ∩ B^C)  = CDann wäre die Rel.  offenbar symmetrisch und 


(vielleicht) auch transitiv .

Answer 1

Äquivalenzklassen anzugeben, heißt, du bestimmst, welche Punkte (oder in deinem Fall Mengen) einander entsprechen, und packst sie in eine Menge. Das solange, bis alle Punkte (Mengen) ausgeschöpft sind. Für eine speziellere Erklärung wäre es hilfreich, die gesamte Angabe zu wissen.

Die Gleichheit auf den rationalen Zahlen zum Beispiel ist eine Äquivalenzrelation mit Vorschrift:

$$x=y \Leftrightarrow \exists a,c,z \in \mathbb Z, b,d \in \mathbb N\colon x=\frac ab \wedge y=\frac cd \wedge a=z\cdot c \wedge b=z\cdot d.$$

Wenn also die Zähler im selben Verhältnis zueinander stehen wie die Nenner.

$$\frac 12 = \frac 24, \text{ aber } \frac 12 \neq \frac 35.$$
Also sind 1/2 und 2/4 in derselben Äquivalenzklasse, 1/2 und 3/5 nicht.