Kern einer Abbildung bestimmen

Question

Hi!

Ich habe die Aufgabe:

a,b ∈ K

φ = K² → K

      (x,y) ↦  a*x + b*y

Bestimmen Sie ker φ .

Also erstmal zum Kern. Hier haben wir ja die Def.

ker φ = { (x,y) ∈ K² | φ((x,y)) = 0} ,also alle (x,y) aus K² die auf 0 abgebildet werden.

Dies ist ja erfüllt, falls a=b=0 oder x=y=0 , aber noch für weitere Fälle. Zum Beispiel:

a= -1  b= 1  mit x=y

Ist der ker φ damit bestimmt? Oder kann man das besser aufschreiben?

Answer 1

es muss für gegebene a,b geschaut werden, für welche x,y gilt 

 a*x + b*y = 0  

1. Fall  b = 0     also schon mal y beliebig

also   ax = 0

      1. Unterfall  a=0  Dann sind das alle x,y , also Kern = K² .
     
      2. Unterfall  a ungleich 0, dann geht es nur mit x = 0
 
                    also Kern = { (0 ; y)  | y ∈ K }

2. Fall  b ungleich 0  

      1. Unterfall    a = 0   Dann   x beliebig und  b*y = 0

                   geht nur für y = 0   also Kern =  { (x ; 0) |  x ∈ K } 

       2. Unterfall      a ungleich 0 

                           a*x + b*y = 0     | * a^-1 

                                  x =  -a^-1*b * y

                        Also Kern =  {  (   -a^-1*b * y ; y ) |  y ∈ K } 

Comments

AHa okay jetzt weiß ich also schonmal, wie ich das aufzuschreiben habe mit den ganzen Fallunterscheidungen :)

Danke mathef

Wann ist die Abbildung φ = K² → K denn surjektiv?

Ich würde sagen, wenn für alle k ∈ K ein (x,y) ∈ K² existiert mit φ((x,y)) → k