Zeigen Sie, dass (an)n mit an := (1+1/n)^n konvergent ist

Question

ich habe eine kurze Frage. Und zwar soll ich zeigen, dass (an)n konvergent ist, wenn (an)n die folge mit an := (1+1/n)^n ist. So ich habe gestern die ganze Zeit nachgerechnet...

Ich hab erst bewiesen, dass (an)n monoton wachsend ist. So muss ich jetzt (bn) nachrechnen also die Beschränktheit überprüfen. Oder wie könnte ich die Aufgabe sonst lösen? Irgendeiner hat mir heute gesagt, dass ich schon zu weit denke und dass ich all das gar nicht brauche: Sondern einfach den Satz vom Skript abschreiben:/

Aber ist dass den alles... Ich habe zwei Seiten gerechnet, aber ich weiss nicht ob das richtig ist..

Es wäre echt super wenn jemand kurz die Zeit hätte um mir das zu erklären:)

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Es sei die Folge mit (an)n : = (1 + 1/n) ^ n. Zeigen Sie es gilt 2 größer gleich (an) <  3

So ich setze schon sehr lange an der Aufgabe und komme überhaut nicht voran. Ich glaube man muss erstmal die Grenzwerte finden aber ich weiß nicht was ich danach machen soll..

Ich hoffe, dass jemand mir weiter hilft:(

Es tut mir leid wenn ich die Aufgabenstellung etwas umständlich geschrieben habe.. Ich hoffe, dass trozdem jemand die Aufgabe versteht und mir weiter hilft

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EDIT: Ich habe deine andere Frage hierhin umgeleitet, da dort keine Rechnung zu sehen ist.

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Schau doch mal dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

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Okay erstmal dankeschön dass ihr beiden auf meine Frage reagiert habt und mir geantwortet habt. Aber mit dem Link kann ich leider nicht anfangen. Aber brauch ich vielleicht die bernoullische Ungleichung dafür?

Answer 1

Zeige mithilfe der Bernoulli-Ungleichung, dass die Folge \(\large b_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\) monoton fällt.

Comments

Ahh ja genau das habe ich auch so am Anfang gemacht. Ich war mir auch sicher, dass ich es richtig gerechnet habe aber zur Sicherheit habe ich Leute, die im höhreren Semester sind gefragt und sie meinten, dass (bn) nicht in der Aufgabenstellung steht und dass ich es anders machen muss. Deswegen sitze ich wieder an der Aufgabe.

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Zweite Möglichkeit: Zeige$$\left(1+\frac1n\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot\frac1{n^k}\le\sum_{k=0}^n\frac1{k!}<3.$$

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Perfekt dankeschön. Mit dem Ansatz habe ich auch in der Zwischenzeit weiter gerechnet und es sieht schon mal richtig aus danke