Linearkombination zur Darstellung der Null / Lineare Unabhängigkeit

Question

hallo zusammen,

könnte mir einer die a und b vorrechnen

v₁=(0   1   2), v₂=(2   1   0), v₃=(1   2   0),  v₄=(1   0   2)

a) Sind v₁ , v₂ , v₃ linear unabhängig? Wenn nicht, gebe eine entsprechende Linearkombination zur Darstellung der Null durch v₁ , v₂ , v₃ an.

b) Sind v₁ , v₂ , v₃ , v₄ linear unabhängig? Wenn nicht, gebe  eine entsprechende Linearkombination zur Darstellung der Null durch v₁ , v₂ , v₃ , v₄ an

Answer 1

a*(0   1   2) +b*(2   1   0) +c* (1   2   0) = (0;0;0)

gibt  2b+c=0   und  a+b+2c = 0  und  2a = 0  

also wegen 2a=0 ist es a=0  und damit wird aus den ersten beiden

2b+c=0   und  b+2c = 0   also b = -2c in die erste

-2c+c= 0  gibt  c=0   und damit auch b=0 .

Also lin. unabh.

Mit dem vierten hast du

2b+c+d=0   und  a+b+2c = 0  und  2a+2d  = 0  also kann man d beliebig wählen und hat dann a = -ddann gibt es bei den ersten beiden

2b+c+d=0   und  -d +b+2c = 0

                            also b = d+2c in die erste

2(d+2c) + c + d = 0 gibt  c = -0,6d

also ist  mit z.B. d= 5  eine Darstellung der 0

-5 *(0   1   2)   -1 *(2   1   0)  -3* (1   2   0) + 5(1   0   2)= (0;0;0)

(rechne vorsichtshalber mal nach.)

Comments

wie zeige ich die Darstellung der 0. Kannst du das vielleicht ausführlicher erklären?

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Aus dem Ansatz für die Linearkomb. der 0 aus den 4 Vektoren

hast du

2b+c+d=0   und  a+b+2c = 0  und  2a+2d  = 0.

Beim Lösen dieses Gl.systems merkst du, dass man

d frei wählen kann und dann wie beschrieben.

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Ich habe eine Frage bezüglich deines Rechenweges in (b),
und zwar schreibst du, -d+b+2c = 0 => b = d+2c;
sollte es nicht heißen b = d-2c, durch einsetzen in die erste ergibt sich dadruch für mich:
2(d-2c)+c+d = 0 also c = d;

Dadurch habe ich -d*(0 1 2) -d*(2 1 0) +d(1 2 0) +d(1 0 2) =(0 0 0)

und egal was ich für d einsetze das Ergebins ist (0 0 0),
was heißt das jetzt für die Lösung der Aufgabe?

Vielen Dank schon mal