Liegen die Vektoren in R^3?

Question

Ich habe hier die Frage, ob span \left\{ \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -7 \end{matrix} \right)  \right\} = ℝ³ ?

Ich weiß nur momentan nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Normal bilden ja 3 Vektoren die je eine 3x1 Maxtrix sind, immer einen ℝ³ - Raum; daher ist für mich eigentlich klar, dass diese Frage stimmt, ich weiß nur nicht, wie ich sie begründen soll.

Eine weitere Idee wäre, dass ich nachweisen soll, ob der Untervektorraum (weil span ja eigentlich immer den Untervektorraum der Vektoren bildet) von diesen drei Vektoren im ℝ³ liegt.

Danke schonmal für Antworten!

Comments

sorry hab es falsch eingegeben; die Frage lautet span  $$ \left\{ \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -7 \end{matrix} \right)  \right\} = $$ ℝ³ ?

Answer 1

Du hast einige Denkfehler:

(1) 3 Vektoren bilden sicher nicht immer den \( \Bbb R^3 \), sondern nur wenn sie lin. unabh. sind.

(2) span liefert erst einmal nur eine Menge, eventuell einen Vektorraum, aber keinen Untervektorraum (Unter wovon?).

Prüfe, ob sich jeder Vektor (x,y,z) als Linearkomb. der drei darstellen lässt, bzw. bestimme das Bild der Matrix aus den 3 Vektoren.

Grüße,

M.B.